Función senoidal

Características de la función seno de X

Su grafica describe una onda completa en cada intervalo de longitud 2π.

Por ello, su periodo es precisamente 2π, lo que lleva a que cada vez que se cubre este ciclo, los valores se repiten, por lo que sen (X+n2π)=senX.

Puedes observar que la distancia que existe entre dos crestas(o dos valles), también es 2π. A esta distancia que separa dos crestas se les conoce como longitud de onda y es relevante para modelar los fenómenos ondulatorios.

El dominio de esta función son los números reales. Ellos pueden representar medidas de ángulos en radianes, o bien valores de longitud o tiempo.

Su rango es el conjunto de números reales comprendidos entre -1 y1, por lo que el intervalo es [-1,1].

Vinculado con el rango, vemos que las ondas de la gráfica tienen una amplitud de 1. Es decir, la distancia máxima de un punto de la gráfica al eje X, es precisamente 1 y se alcanza en los puntos llamados crestas (los más altos) o valles (los más bajos).

Recuerda sus partes:

El formato completo para las funciones senoidales incorpora cuatro parámetros.

f(x)=Asen(Bx+C)+D

Para tener funciones básicas como senx

A=1, B=1,C=0 y D=0

Parámetro A Amplitud

Si deseamos agrandar o disminuir el tamaño de la onda tenemos que multiplicar el valor que resulta de calcular sen x por una constante. Así, el parámetro que nos proporciona la amplitud de la onda senoidal es A.

Tomemos por ejemplo a la función senoidal 2senx. El valor de A es 2, por lo que podemos afirmar que su gráfica tiene una amplitud de 2 unidades. Como la amplitud se refiere a una distancia, se acostumbra considerar el valor absoluto de ese número, ya que en ocasiones es negativo. Así, con mayor propiedad decimos que el valor de la amplitud es |A|=|2|=2

Su grafica sería:

Aunque generalmente se usan números positivos para los valores de la amplitud, nos puede convenir utilizar negativos en una situación dada. Así que veamos primero qué sucede con la gráfica al incluir el signo menos. ¿Lo revisamos con la función f(x)=-2senx que teníamos?

Por ello, el efecto del signo negativo en la gráfica es “voltearla”, es decir, proporciona su “reflejo” sobre el eje x. Observa las gráficas de f(x)=2senx y f(x)=-2senx juntas.

Parámetro B, frecuencia y periodo

El parámetro B te informa de cuantas ondas completas (o que fracción de ellas si B es menor que 1) hay en un intervalo de longitud 2π. Recuerda que 2π es el valor que corresponde al periodo de la función senoidal básica f(x)=senx.

Por lo que el parámetro B está relacionado con la frecuencia. Es decir, con el número de veces en el que se repite un ciclo completo en la unidad de tiempo.

Por ello, si la frecuencia es mayor, el periodo disminuye y viceversa. De esta manera la relación que existe entre la frecuencia f y el periodo Tes:

f₁=1/To bien T=1/f1

El parámetro B informa sobre el número de ciclos completos que caben en un intervalo de longitud 2π. Por ello su relación con el periodo T es:

T=2π/B o bien B=2π/T

Veamos un ejemplo

En la siguiente gráfica

Observa cuantos ciclos completos caben en 2π

Si observas caben 3 ciclos en 2π

Por lo que la función de la forma f(x)=Asen(Bx+C)

Quedaría

f(x)=Asen(3x+C)

Es posible encontrar el periodo de la función ya que:

T=2π/B o bien B=2π/T

Por lo que el periodo de la función es T=2π/3 =2.094 y como la frecuencia es el inverso del periodo f=B/2π =3/2π=0.477

Asi es posible obtener frecuencia y periodo de una función, como también si se conoce el periodo se puede encontrar el valor de B

Por ejemplo

Calcular el parámetro B de la función senoidal si se sabe que la frecuencia es 1.1140

Como la frecuencia es el inverso del periodo el periodo es igual a T=1/1.1140 =0.8975

Despejando la formula B =2π/T = 2π/0.8975 = 7

Quedando la función senoidal

f(x)=Asen(7x+C)

Parámetro C desfasamiento

El parámetro C provoca un desplazamiento horizontal de toda la gráfica. A ése se le llama desplazamiento de fase o desfasamiento.

Veamos un ejemplo. En la siguiente figura aparecen dos senoidales; una de ellas es (x)=senx y la otra es fx = sen(x-π/4). Observa cómo la gráfica de ésta última (en color azul) tiene un desplazamiento de π/4 = 3.1416/4 = 0.7853 unidades a la derecha.

C interviene en el desfasamiento (es decir saber cuánto se recorre). Éste es, de hecho, - C/B. Este valor se obtiene al resolver las ecuaciones BX + C =0 y Bx+C=2π. Cuando - C/B es positivo, la gráfica se corre a la derecha - C/B unidades, mientras que cuandoes negativo, el desplazamiento (también de unidades - C/B) es hacia la izquierda.

Recuerda que el parámetro B te informa de cuantas ondas completas (o que fracción de ellas si B es menor que 1) hay en un intervalo de longitud 2π. Recuerda que 2π es el valor que corresponde al periodo de la función senoidal básica .

Por lo que el parámetro B está relacionado con la frecuencia. Es decir, con el número de veces en el que se repite un ciclo completo en la unidad de tiempo.

Por ello, si la frecuencia es mayor, el periodo disminuye y viceversa. De esta manera la relación que existe entre la frecuencia f y el periodo T es:

f¹ = 1/T o bien T = 1/f ¹

Veamos un ejemplo

Si observamos la siguiente gráfica

Es posible comparar cuanto se desfasó la gráfica roja de la negra que es f(x)=senx esta se recorrió π / 2 por lo que el valor de C es de π / 2 quedando la función como f(x)=sen(x+)

Ahora bien si B fuera distinto de 1 como en el caso anterior

No es tan fácil el distinguir cual es desfasamiento ese se calcula si dividimos el valor de C entre B 1.57 / 2 = 0.7885que si observamos bien la grafica notaremos que corresponde a π / 4