¿Para qué aproximar?

Muchas veces, cuando se utilizan instrumentos de medición los resultados son números muy precisos con una gran cantidad de cifras decimales. Esto también ocurre frecuentemente al realizar operaciones con algún dispositivo electrónico, sin embargo escribir y representar un número con tantas cifras decimales no solamente resulta complejo sino que también pierde sentido.

Por ejemplo, supongamos que al realizar la medición de ciertos objetos obtienes números con seis cifras decimales y tu deseas expresar los resultados en metros ¿qué significado tendrían en tus resultados las cifras decimales después de la tercera?

Supongamos que, después de medir y operar, se obtiene que cierto rectángulo mide $13.428961\: m$ de largo y $5.726145\: m$ de ancho y debemos obtener el valor aproximado de su área. Si hacemos el producto de estos dos números, obtendremos una cantidad con muchos más decimales ¿aportan información valiosa tantos decimales?

Por esto se usa el concepto de cifras significativas.insert_link Observa lo que pasa si “cortamos” los números dados hasta la tercera cifra decimal.

El producto original: $$13.428961 \times 5.726145 = 76.8961778853$$

El producto de las cantidades “recortadas” y con resultado también recortado: $$13.428961 \times 5.726145 = 76.888$$

La diferencia es $0.007449$ son apenas poco más de $7 mm^2$ habrá que decidir, en el contexto del problema que se trabaje, si esta cantidad es significativa o no.

Trabajar con menos decimales es más sencillo, por lo que es un recurso muy utilizado. Al hacerlo, cambiamos el valor original por otro, decimos entonces que aproximamos el valor original.

Cuando aproximamos un número lo que hacemos es sustituir su valor exacto por otro que, como su nombre indica, es aproximado. Existen distintos métodos para hacerlo. Revisaremos los dos de uso más común:

Redondeo

Para redondear un número, primero debemos definir el número de decimales que tendrá el número aproximado.

Digamos que deseamos aproximar un número “a $n$ cifras decimales”. Esto significa que se conservarán $n$ cifras decimales. La última cifra en esta expresión, será la $n$-ésima cifra decimal.

Entonces, escribimos las primeras $n$ cifras de la expresión decimal del número y revisamos cuál es la cifra siguiente a la $n$-ésima (es decir, la que está en la posición $n+1$).

• Si esa cifra menor a $5$ $\:(0,1,2,3$ ó $4),$ entonces la $n$-ésima cifra permanece igual.
• Si es mayor o igual a $5$ $\:(5, 6, 7, 8$ ó $9),$ se suma uno a la $n$-ésima cifra decimal.

El número $\pi$ es uno de los valores matemáticos más conocidos. Representa el cociente obtenido al dividir la longitud de una circunferencia entre su diámetro. Ha sido estudiado desde tiempos de los griegos y se sabe que, tiene una cantidad infinita de cifras decimales: $3.14159265…$ para efectos prácticos se aproxima a $3.1416,$ resultado de redondearlo a cuatro cifras decimales.

Otros ejemplos

Queremos aproximar a dos decimales los siguientes valores:

a) $217.4382649$

Mantenemos el número con las primeras dos cifras decimales:

$217.43$

Observamos la tercera cifra, es un $8.$ Sumamos $1$ al $3.$

El resultado es $217.44$

b) $85.193752$

Mantenemos el número con las primeras dos cifras decimales:

$85.19$

En este caso la tercera cifra es un $3,$ entonces la segunda cifra se mantiene igual.

El resultado es $85.19$

Truncamiento

Para truncar un número, como en el método anterior, lo primero que debemos hacer es definir el número de decimales que tendrá el número aproximado.

Si queremos aproximar un número “a $n$ cifras decimales”, se conservan tantas cifras decimales como el valor de $n$ indique y el resto simplemente se elimina.

¿Te has fijado en los precios de la gasolina? Son cifras que cuentan con una gran cantidad de decimales, pues para calcular su valor se toman en cuenta valores como el tipo de cambio e inflación, entre otros; sin embargo, al momento de publicar los precios las empresas lo que hacen justamente es truncar el precio a dos dígitos para facilitar el cobro.

Otros ejemplos

Queremos aproximar a cuatro decimales los siguientes valores:

a) $3.141596$

Mantenemos el número con los primeros cuatro decimales (independientemente del valor de la quinta cifra).

El resultado es $3.1415$

b) $7.972108$

Mantenemos el número con los primeros 4 decimales.

El resultado es $7.9721$

¿Y cuál es mejor?

Ya que aprendimos cómo redondear y cómo truncar, revisemos las diferencias entre utilizar uno u otro.

Ejemplos:

Queremos aproximar a tres cifras los siguientes valores:

a) $14.8348$

Redondeando: $14.835$ porque la cifra que sigue al $8$ es menor que $5$

Truncando: $14.834$

b) $207.4267628$

Redondeando: $207.427$ porque la cifra que sigue al $6$ es mayor que $5$

Truncando: $207.426$

c) $2.387421$

Redondeando: $2.387$ porque la cifra que sigue al $7$ es menor que $5$

Truncando: $2.387$

d) $75.2897$

Redondeando: $75.290$ porque la cifra que sigue al $9$ es mayor que $5$

Truncando: : $75.289$

Dependerá del problema que quieras resolver cuál de las dos opciones de aproximación es mejor.

Hay ocasiones en que da lo mismo

Además, existen casos en los que ambos métodos de aproximación dan el mismo resultado.

Ejemplos:

Queremos aproximar a tres cifras los siguientes valores:

a) $27.1241821$

Redondeando: $27.124$ porque la cifra que sigue al $4$ es menor que $5$

Truncando: $27.124$

b) $38.0423$

Redondeando: $38.042$ porque la cifra que sigue al $2$ es menor que $5$

Truncando: $38.042$

c) $0.167469$

Redondeando: $0.167$ porque la cifra que sigue al $7$ es menor que $5$

Truncando: $0.167$

d) $498.10803$

Redondeando: $498.108$ porque la cifra que sigue al $8$ es menor que $5$

Truncando: $498.108$

Autoevaluación

Ahora que conoces los dos métodos más comunes para la aproximación de números decimales, te será mucho más fácil trabajar con ellos.

1. Para reforzar las diferencias entre truncar y redondear, en las siguientes aproximaciones indica qué método se utilizó en cada caso.