Porcentaje

¿Qué es el porcentaje?

Seguramente has oído la palabra porcentaje o leído cantidades acompañadas con el símbolo $\%$.

Los porcentajes los vemos en tiendas departamentales, indicadores económicos, calculadoras, cantidades de alimentos, etc.

Se cree que el símbolo $\%$ evolucionó a partir de la expresión $\dfrac{x}{100}$, aunque no se sabe con certeza. Lo cierto es que el primer registro que se tiene de el uso de porcentajes data del siglo XV. Inicialmente el símbolo usado era muy distinto del que conocemos actualmente:

Jitse Niesen (2005) Le symbole “%” au XVe siècle.. Tomado de Wikimedia Commons

Pero ¿qué es un porcentaje?

A percent sign. Tomado de Wikimedia Commons

Este símbolo, $\% $, se lee como “por ciento” y está representando una fracción con denominador $100$, por ejemplo $ 32\% =\frac{32}{100}$ que se lee "$32$ por ciento" y significa que se están considerando $32$ de cada $100$ partes iguales de algo. Es decir, $32$ centésimas de algo.

Entonces, los porcentajes actúan en función de otras cantidades. Por ejemplo, si decimos que el $52\%$ de un grupo de personas son mujeres, significa que de cada $100$ personas de ese grupo, $52$ son mujeres. De igual forma, cuando se habla del $20\%$ de descuento en el precio de un artículo, entenderemos que de cada $\$100$ del precio, se nos descuentan $\$20$ (o pagaremos solamente $\$80$).

Si nuestra compra fuera por $ \$475$ como $$20\%=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}$$ entonces, el descuento indicaría una reducción de una quinta parte del precio. Entonces, el descuento será de $ \$95,$ por lo que pagaremos en total $ \$475 - \$95 = \$380$.

Es muy útil transformar porcentajes conocidos en fracciones: $$50\%=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$$ $$25\%=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$$ $$40\%=\frac{40}{100}=\frac{2}{5}$$ $$60\%=\frac{60}{100}=\frac{3}{5}$$ $$80\%=\frac{80}{100}=\frac{4}{5}$$ $$75\%=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}$$

Y para generalizar el cálculo de un porcentaje usaremos la siguiente definición:

“El porcentaje $p$ de una cantidad $c$, es el número $x$ para el cual la siguiente proporción es válida:" $$\frac{x}{c}=\frac{p}{100}$$ es decir, $$x=c\times \frac{p}{100}$$

Tomada de: Alonso M. et al (2018). Matemáticas 1. Praxis. Ciudad de México, Ediciones Castillo.

Veamos un ejemplo

En México una de las formas de recaudación impositiva es el pago del Impuesto al Valor Agregado, (IVA). La tasa actual es del $16 \%$ y se aplica sobre el consumo.

Supongamos que en una tienda de autoservicio el total de nuestros productos es $\$967$, ¿cuál sería el monto a pagar por concepto de IVA?

Veamos, representemos por $x$ la cantidad a pagar por IVA.

De la definición sabemos que $$x=c\times \frac{p}{100}$$

por lo que en este caso, $p=16$ y $c=967$.

Entonces, $$x=967\times \frac{16}{100}= 154.72$$

El pago por concepto de IVA será de $154.72$, en total habrá que pagar $967+154.72 = 1121.72$

Aplicaciones

Los porcentajes tienen aplicaciones en prácticamente todas las áreas de la vida cotidiana.

Cambios en tamaño

En ocasiones se usan los porcentajes para indicar que algo ha cambiado de tamaño.

Usando la definición, vemos que $p$ está dividido entre $100$ de tal forma que si $p>100$ el factor $\dfrac{p}{100}$ es un número mayor a uno.

Podemos decir entonces que:

Si $p>100$ el cambio de tamaño es un crecimiento
Si $p<100$ el cambio de tamaño es una disminución

Ejemplos:

1. En $2017$ la población en cierto país era de $129.2$ millones, para $2018$ la población es $101.3\%$ de lo que era en $2017$, ¿a cuánto asciende la población en $2018$?

Llamemos $x$ al total de habitantes en ese país en el año $2018$. Usando la definición tenemos que $$x=129.2\times \frac{101.3}{100}$$

Así, la población en $2018$ es de $130.8796$ millones de personas.

Para expresar lo anterior decimos que, la población creció en $1.3\%$.

2. La cantidad de agua de una alberca, disminuye el $7\%$ durante el día debido a la evaporación. Si la alberca contiene $2350\:l$ al amanecer ¿qué cantidad de agua quedará al final del día?

Aplicando el mismo procedimiento que antes, llamemos $x$ a la cantidad de agua evaporada, entonces $c=2350$ y $p=7$ de donde, $$x=2350\times \frac{7}{100}=164.5$$ por lo que se perdieron $164.5 \:l$ en el día, quedando $$2350-164.5=2185.5\:l$$

3. Para hacer cierto trámite solicitan una fotografía ampliada al $350\%$, si la fotografía original mide $8\:cm$ de largo por $4\:cm$ de ancho, ¿qué medidas tendrá la fotografía ampliada?

Para este caso, se tiene que $c=8$, $p=350$ y $x$ representa el largo de la fotografía ampliada. Tenemos entonces, $$x=8\times \frac{350}{100}=28$$ por lo que la nueva fotografía mide $28\:cm$ de largo por $14\:cm$ de ancho.

Proporciones

Los porcentajes también son utilizados para indicar la parte de un total.

Por ejemplo, sabemos que la solución salina normal es una mezcla de sal de mesa en agua. Esta solución, debe contener $0.9\%$ de cloruro de sodio (es decir, sal), el porcentaje indica la cantidad de sal que se debe usar por cantidad de agua.

Si tenemos una ampolleta de $250\: ml$ ¿cuántos gramos de cloruro de sodio se deben usar para obtener una solución de cloruro de sodio al $0.9\%$? Sabemos que $100\:ml$ de agua y $100\:g$ de agua pesan lo mismo.

Usando la definición, ahora tenemos que $x$ es el peso en gramos de sal necesaria, $c=250$ y $p=0.9$; sustituyendo: $$x=c\times \frac{p}{100}=250\times \frac{0.9}{100}=2.25$$

Por lo tanto, se deben usar $2.25$ gramos de sal.

Itayba.(2007). A bag of Saline 0.9%, saline solution. Tomado de Wikimedia Commons

Probabilidad

Otra área en donde usualmente vemos porcentajes es en la probabilidad.

La probabilidad es una cantidad que indica la proporción de veces que ocurre un evento en un determinado experimento.

En ese sentido y usando la definición de porcentaje, diremos que un evento tiene $p\%$ de porcentaje de probabilidad de ocurrir si por cada $100$ veces que se realice el experimento, el evento ocurre $p$ veces.

En eventos deportivos es común escuchar que las apuestas están $4$ a $1$, $10$ a $1$, etc. ¿Qué quiere decir esto?

Cuando decimos que las apuestas están $z$ a $1$ en favor de cierto equipo significa que la probabilidad de que el equipo gane es $z$ veces la probabilidad de que pierda.

Por ejemplo, si en un partido de futbol Pumas vs León, las apuestas están $7$ a $1$ en favor de Pumas ¿qué probabilidad, en porcentaje, tiene Pumas de ganar el partido?

Veamos, llamemos $z$ a la probabilidad en porcentaje de que Pumas gane el partido, entonces, $$z= \frac{p}{100}$$

Recordemos que aquí, $p$ representa el número de veces que Pumas ganaría si el partido se jugara $100$ veces y por tanto, lo perdería $100-p$ veces.

Entonces la probabilidad en porcentaje, de que Pumas pierda es, $$\frac{100-p}{100}= 1-z\qquad \qquad (\text{identidad 1})$$

Como las apuestas están $7$ a $1$, entonces, $$z=7\times (1-z)$$

si de aquí, despejamos $z$ obtenemos, $$z= \frac{7}{8}$$

y sustituyendo en la identidad $1,$ tendremos que, $$p=87.5$$

Y así, Pumas tienen un $87.5 \%$ de probabilidades de ganar el partido.

ebidej.(2011). Estadio Olímpico Universitario. Tomado de Wikimedia Commons