Introducción

Para resolver ecuaciones de segundo grado podemos usar la fórmula general, aunque existen otros métodos. Aquí te mostramos el de cambio de variable, comencemos con un ejemplo.
Supongamos que queremos resolver la ecuación $$6x^2-7x+2=0$$

Iniciamos multiplicando la ecuación por el coeficiente del término cuadrático, es decir, por el número que acompaña a $x^2$, en este caso es $6:$

$$6(6x^2)-6(7x)+6(2)=6(0)$$ Obtenemos la siguiente ecuación $$36x^2-6(7x)+12=0$$ esta es una ecuación equivalente a la primera, es decir, las dos tienen las mismas soluciones.
Observa el segundo sumando de la ecuación: $$-6(7x)$$ por la propiedad conmutativa del producto, sabemos que $-6(7x)=-7(6x)$ por lo que la nueva ecuación se puede reescribir como, $36x^2 – 7(6x) +12 = 0$, ahora lo que está dentro del paréntesis será nuestra nueva variable $z=6x$ por lo que $z^2=36x^2$

Reescribimos la ecuación con estos cambios $z^2-7z+12=0$ esta es una ecuación más sencilla que la original porque puede factorizarse fácilmente. Observa que el coeficiente del término cuadrático es $1.$

1. El coeficiente de $z^2$ es uno.

Realicemos otro ejercicio.

$2x^2-11x-6=0$

Multiplico la ecuación por el coeficiente de a=2:

$(2)2x^2-(2)11x-(2)6$=$(2)0$

$4x^2-11(2x)-12=0;$ sustituo a 2x por z, por lo tanto $z^2=4x^2$,sustituyo y tengo $z^2-11z-12=0$; ahora hay que factorizar:

1. Veamos si existen dos números que multiplicados den como resultado -12 y sumados den -11. La siguiente tabla muestra las combinaciones de números:

   $1^{er} número$	$2° número$	Multiplicación	Suma
   3	4	$(3)(4) = 12$	$3+4=7$
   -3	-4	$(-3)(-4) = 12$	$-3+(-4)=-3-4=-7$
   6	2	$(6)(2) = 12$	$6+2=8$
   -6	-2	$(-6)(-2) = 12$	$-6+(-2)=-6-2=-8$
   12	1	$(12)(1) = 12$	$12+1=13$
   -12	1	$(-12)(1) = -12$	$-12+1=-11$

    

   (z-12)(z+1)=0; sustituyo z por 2x

   (2x-12)(2x+1)=0; y resuelvo:

   2x-12=0

   2x-12+12=0+12

   2x=12

   $\frac{2x}{2}=\frac{12}{2}$

   $x=\frac{12}{2}$

   $x=6$

   $2x+1=0$

   $2x+1-1=0-1$

   $2x=-1$

   $\frac{2x}{2}=-\frac{1}{2}$

   $x=-\frac{1}{2}$

   Por lo que los resultados son:

   $x_{1}=6$ y $x_{2}=-\frac{1}{2}$

   Este método es otra alternativa para resolver ecuaciones de segundo grado. La podrás utilizar en cursos de matemáticas más avanzados. Reforcemos tus conocimientos resolviendo la siguiente autoevaluación.

Autoevaluación

a) z=6x

b) z=11x

c) z=3x

d) z=4x

e) z=2x

1. $x_1=$ -$\frac{3}{4}$; $x_2=$ -3
2. $x_1=$ -1; $x_2=$ $\frac{1}{3}$
3. $x_1=$ $\frac{3}{2}$; $x_2=$ $\frac{1}{3}$
4. $x_1=$ -$\frac{1}{3}$; $x_2=$ $\frac{3}{2}$
5. $x_{1}=24$.$4$, $x_{2}=-1$.$2$

Realiza los siguientes ejercicios de cambio de variable, te pedimos elijas el valor de z y la respuesta correcta.