¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales?

Existen situaciones en las que se requiere el planteamiento y resolución simultánea de un grupo de ecuaciones. Si todas las ecuaciones son lineales, es decir cada una de sus incógnitas tiene exponente uno, entonces tenemos un sistema de ecuaciones lineales.

Podría ser que el sistema tuviera una sola incógnita o varias. Frecuentemente se usa la letra $m$ para indicar cuántas ecuaciones hay y la letra $n$ para indicar cuántas incógnitas tiene el sistema. Así, hablamos de un sistema de ecuaciones lineales de $m \times n$ si tenemos una colección de $m$ ecuaciones con $n$ incógnitas entre todas ellas.

Y decimos que forman un sistema si la intención es encontrar una solución simultánea, es decir, un conjunto de valores que satisfaga todas las ecuaciones del sistema. Esta solución podría existir o no.

Así por ejemplo, el siguiente es un sistema de $2 \times 1:$

$$ \left\{\begin{array}{cccccc} 2x & = & 3\\ \frac{2}{3}x & = & 1 \end{array} \right. $$

tiene dos ecuaciones y una sola incógnita: $x.$ No es difícil ver que la solución $x=\frac{3}{2}$ es simultánea, pues satisface las dos ecuaciones. Si un sistema de ecuaciones tiene solución decimos que es un sistema consistente y si no tiene solución se llama inconsistente.

Los sistemas consistentes pueden tener una sola solución o una infinidad de ellas.

El siguiente sistema, también de $2 \times 1$, es inconsistente pues no es posible encontrar un número real que, al sustituirse por $x$ en ambas ecuaciones, haga que las dos igualdades sean ciertas:

$$ \left\{\begin{array}{cccccc} 6x & = & 12\\ -8x & = & 24 \end{array} \right. $$

Este ejemplo es un sistema de $2 \times 2$, dos ecuaciones y dos incógnitas:

$$ \left\{\begin{array}{cccccc} 6x & - &0.4y&= & 12\\ -15x & + &y&= & -30 \end{array} \right. $$

Este sistema es consistente con una infinidad de soluciones, las representamos como un conjunto de parejas $(x,y)$, en la que cada pareja representa una solución simultánea de las dos ecuaciones del sistema.

Observa cómo son las parejas del conjunto. Para cada número real $x$ existe un valor $y$ definido por la expresión $15x-30$. Ambos valores forman una solución que satisface a las dos ecuaciones: $$\{(x, 15x-30)|x \in \mathbb{R}\}$$

Es posible construir un sistema de $m \times n$ para cualesquiera dos números $m$ y $n$ y después buscar soluciones simultáneas. Existen diferentes maneras de resolverlos y las herramientas del álgebra lineal y la teoría de ecuaciones nos permiten hacerlo.

En esta ocasión estudiaremos sistemas de $3 \times 3,$ es decir, aquellos que tienen tres ecuaciones y tres incógnitas. Su forma genérica es la siguiente:

$$ \left\{\begin{array}{cccccc} a_{1}x & + & a_{2}y & + & a_{3}z & = & d_1\\ b_{1}x & + & b_{2}y & + & b_{3}z & = & d_2\\ c_{1}x & + & c_{2}y & + & c_{3}z & = & d_3 \end{array} \right. $$

Aquí, $x,y,z$ son las incógnitas buscadas y $a_{1},a_{2},a_{3},b_{1},b_{2},b_{3},c_{1},c_{2},c_{3},d_{1},d_{2}$ y $d_{3}$ son números reales.

Por ejemplo, el siguiente sistema de ecuaciones lineales es de $3 \times 3.$ Le llamaremos $A:$

$$A=\left\{\begin{array}{cccccccc} x & + & y & + & z &= & 0\\ x & - & y & &&= & 1 \\ &&y& - & z & = & 1\end{array} \right. $$

¿Puedes encontrar tres valores reales, $x,y,z$ que satisfagan las tres ecuaciones?

¿Cómo resolver sistemas de ecuaciones?

Resolver un sistema de ecuaciones significa precisamente encontrar una solución simultánea.

Los sistemas de ecuaciones lineales pueden resolverse de distintas maneras.

Para resolver sistemas de $3 \times 3$ existen los siguientes métodos:

• Eliminación gaussiana
• Regla de Cramer (en el que hay que usar determinantes)

En esta ocasión aprenderás a usar el método de eliminación gaussiana. En este método se transforma el sistema original en otro cuya resolución sea más sencilla y que sea equivalente al original.

Decimos que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si ambos tienen el mismo conjunto de soluciones. Es decir una colección de valores es solución del primer sistema si y solamente si es solución del segundo.

Supongamos que en un laboratorio se tienen tres emulsiones que contienen cierta cantidad de ácido. La primera emulsión contiene $10\%$ de ácido, la segunda contiene $30\%$ y la tercera $50\%.$

Un químico desea hacer una mezcla de las tres emulsiones para obtener $50$ litros de una nueva emulsión que contenga $32\%$ de ácido. Además, desea usar el doble de la que contiene $50\%$ que la de $30\%,$ ¿cuántos litros debe usar de cada emulsión?

¿Cómo podemos resolver este problema? El primer paso es entenderlo bien e identificar los datos con los que podemos construir ecuaciones. Esta es la parte más importante de la resolución: el modelado. Ya con el modelo, construiremos un sistema de ecuaciones lineales.

Veamos, el problema requiere encontrar tres cantidades: los litros, de cada una de las emulsiones, que han de usarse para formar la mezcla. Tenemos entonces que definir tres incógnitas. Sean: $$x: \text{ la cantidad de litros a usar de la emulsión con ácido al } 10$$ $$y: \text{ la cantidad de litros a usar de la emulsión con ácido al }30$$ $$z: \text{ la cantidad de litros a usar de la emulsión con ácido al }50$$

Se solicita que haya $50\:l$ de mezcla, por lo que tenemos que la primera ecuación es: $$x+y+z=50 \qquad (1)$$

El enunciado también especifica que se desea que la mezcla contenga $32\%$ de ácido, entonces de los $50$ litros que se obtengan, el $32\%$ de ellos, serán de ácido, es decir $0.32(50)=16$ litros. Así, la segunda ecuación será: $$0.1x+0.3y+0.5z=16 \qquad (2)$$

Finalmente, se establece que en la mezcla resultante deberá haber el doble de la emulsión que contiene ácido al $50\%$ que de la de contiene $30\%$, es decir: $$x=2y \Leftrightarrow x-2y=0 \qquad (3)$$

Tenemos entonces un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:

$$ M =\left\{ \begin{array}{cccccccc} x & + & y & + & z &= & 50\\ 0.1x&+& 0.3y & + & 0.5z &= & 16\\ x& &-2y&&&= & 0 \end{array} \right. $$

Para resolverlo, lo transformaremos en un sistema equivalente que sea más sencillo de resolver.

Sistemas triangulares

¿Recuerdas el sistema $A$? Se presentó en la segunda pantalla. Es este:

$$A=\left\{\begin{array}{cccccccc} x & + & y & + & z &= & 0\\ x & - & y & &&= & 1 \\ &&y& - & z & = & 1\end{array} \right. $$

Este sistema es equivalente al siguiente:

$$B=\left\{\begin{array}{cccccccc} x & + & y & + & z &= & 0\\ & & y & - &z&= & 1 \\ &&& & -z & = & 1\end{array} \right. $$

Este es un sistema triangular y en él es muy fácil obtener la solución. Observa su tercera ecuación $$-z =1$$ por lo tanto $z=-1.$ Sustituimos este valor en la segunda ecuación para obtener el valor de $y$: $$y-(-1)=1 \Leftrightarrow y=0$$ y sustituyendo los valores de $y$ y $z$ en la primera ecuación, tenemos que $$x+(0)+(-1)=0 \Leftrightarrow x=1$$

Entonces la única solución del sistema $B$ es $x=1, y=0, z=-1$. Comprobemos que esta es también solución del sistema $A$ sustituyendo estos valores en el lugar de las incógnitas: $$\left\{\begin{array}{cccccccc} (1) & + & (0) & + & (-1) &= & 0\\ (1) & - & (0) & &&= & 1 \\ &&(0)& - & (-1) & = & 1\end{array} \right. $$

¿lo ves? ambos tienen la misma solución por lo tanto son equivalentes.

El método de eliminación gaussiana consiste en transformar un sistema cualquiera en uno triangular, porque en estos es muy fácil obtener la solución haciendo sustitución inversa que fue lo que hicimos para resolver el sistema $B.$

Operaciones elementales

Un sistema de ecuaciones se transforma en un sistema triangular aplicando operaciones elementales pues al aplicarlas, se obtiene como resultado un sistema equivalente.

Las operaciones elementales son las siguientes:

• [Oe1] intercambio de ecuaciones
• [Oe2] multiplicación de una ecuación por un número real (que no sea cero)
• [Oe3] suma del múltiplo de una ecuación a otra

Volvamos al sistema obtenido en el problema de la mezcla y veamos cómo se transforma en un sistema triangular aplicando estas operaciones.

Transformando un sistema en otro

Después de leer el problema, entenderlo y plantearlo mediante tres ecuaciones con tres incógnitas, obtuvimos el siguiente sistema:

$$ M =\left\{ \begin{array}{cccccccc} x & + & y & + & z &= & 50\\ 0.1x&+& 0.3y & + & 0.5z &= & 16\\ x& &-2y&&&= & 0 \end{array} \right. $$

Etiquetamos las ecuaciones para poder referirnos a ellas de manera más sencilla.

$$ M =\left\{ \begin{array}{cccccccccc} x & + & y & + & z &= & 50 &&(1)\\ 0.1x&+& 0.3y & + & 0.5z &= & 16 && (2)\\ x&-&2y&&&= & 0 && (3)\end{array} \right. $$

Empezamos multiplicando la ecuación $(1)$ por $10$ para trabajar solamente con coeficientes enteros. Esta es una operación de tipo (Oe1). Dará como resultado el siguiente sistema equivalente: $$ \left\{ \begin{array}{cccccccccc} x & + & y & + & z &= & 50 &&(1)\\ x&+& 3y & + & 5z &= & 160 && (2)\\ x&- &2y&&&= & 0 && (3)\end{array} \right. $$

Ahora sumamos a la ecuación $(2)$ la ecuación $(1)$ multiplicada por $-1.$ Esta es una operación de tipo (Oe3) y da como resultado el siguiente sistema equivalente: $$ \left\{ \begin{array}{cccccccccc} x & + & y & + & z &= & 50 &&(1)\\ && 2y & + & 4z &= & 110 && (2)\\ x& -&2y&&&= & 0 && (3)\end{array} \right. $$

Enseguida sumamos a la ecuación $(1)$ la ecuación $(3)$ multiplicada por $-1.$ Esta es una operación de tipo (Oe3) y da como resultado el siguiente sistema equivalente: $$ \left\{ \begin{array}{cccccccccc} & & 3y & + & z &= & 50 &&(1)\\ && 2y & + & 4z &= & 110 && (2)\\ x&- &2y&&&= & 0 && (3)\end{array} \right. $$

Ahora intercambiamos las ecuaciones $(1)$ y $(3).$ Esta es una operación de tipo (Oe1) y da como resultado el siguiente sistema equivalente: $$\left\{ \begin{array}{cccccccccc} x& - &2y&&&= & 0 &&(1)\\ && 2y & + & 4z &= & 110 && (2)\\ & & 3y & + & z &= & 50 && (3)\end{array} \right. $$

Enseguida sumamos a la ecuación $(3)$ la ecuación $(2)$ multiplicada por $-\frac{3}{2}.$ Esta es una operación de tipo (Oe3) y da como resultado el siguiente sistema equivalente: $$\left\{ \begin{array}{cccccccccc} x& - &2y&&&= & 0 &&(1)\\ && 2y & + & 4z &= & 110 && (2)\\ & & & - & 5z &= & -115 && (3)\end{array} \right. $$

Hemos llegado a un sistema triangular que es equivalente al sistema $M$ y será más fácil de resolver, pues podemos hacer sustitución inversa.

De la ecuación $(3)$ tenemos que $-5z = -115 \Leftrightarrow z=\frac{-115}{-5}=23.$

Sustiuyendo este valor en la ecuación $(2)$ tenemos que $$2y+4(23)=110 \Leftrightarrow y=\frac{110-4(23)}{2}=\frac{2(55)-4(23)}{2}=$$ $$\qquad =55-2(23)=55-46=9$$

Finalmente, sustituimos en la ecuación $(1)$ los valores que obtuvimos: $$x-2(9)=0 \Leftrightarrow x=18$$

Tenemos entonces que la solución del sistema $M$ es $x=18, y=9, z=23,$ en el contexto del problema esto significa que el químico deberá agregar a su mezcla $18$ litros de la emulsión que contiene $10\%$ de ácido, $9$ litros de la que contiene $30\%$ y $23$ litros de la emulsión con ácido al $50\%.$

Autoevaluación

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones en tu cuaderno. Usa el método de eliminación gaussiana.