¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales?

Existen situaciones en las que se requiere el planteamiento y resolución simultánea de un grupo de ecuaciones. Si todas las ecuaciones son lineales, es decir cada una de sus incógnitas tiene exponente uno, entonces tenemos un sistema de ecuaciones lineales.

Podría ser que el sistema tuviera una sola incógnita o varias. Frecuentemente se usa la letra $m$ para indicar cuántas ecuaciones hay y la letra $n$ para indicar cuántas incógnitas tiene el sistema. Así, hablamos de un sistema de ecuaciones lineales de $m \times n$ si tenemos una colección de $m$ ecuaciones con $n$ incógnitas entre todas ellas.

Y decimos que forman un sistema si la intención es encontrar una solución simultánea, es decir, un conjunto de valores que satisfaga todas las ecuaciones del sistema. Esta solución podría existir o no.

Así por ejemplo, el siguiente es un sistema de $2 \times 1:$

$$ \left\{\begin{array}{cccccc} 2x & = & 3\\ \frac{2}{3}x & = & 1 \end{array} \right. $$

tiene dos ecuaciones y una sola incógnita: $x.$ No es difícil ver que la solución $x=\frac{3}{2}$ es simultánea, pues satisface las dos ecuaciones. Si un sistema de ecuaciones tiene solución decimos que es un sistema consistente y si no tiene solución se llama inconsistente.

Los sistemas consistentes pueden tener una sola solución o una infinidad de ellas.

El siguiente sistema, también de $2 \times 1$, es inconsistente pues no es posible encontrar un número real que, al sustituirse por $x$ en ambas ecuaciones, haga que las dos igualdades sean ciertas:

$$ \left\{\begin{array}{cccccc} 6x & = & 12\\ -8x & = & 24 \end{array} \right. $$

Este ejemplo es un sistema de $2 \times 2$, dos ecuaciones y dos incógnitas:

$$ \left\{\begin{array}{cccccc} 6x & - &0.4y&= & 12\\ -15x & + &y&= & -30 \end{array} \right. $$

Este sistema es consistente con una infinidad de soluciones, las representamos como un conjunto de parejas $(x,y)$, en la que cada pareja representa una solución simultánea de las dos ecuaciones del sistema.

Observa cómo son las parejas del conjunto. Para cada número real $x$ existe un valor $y$ definido por la expresión $15x-30$. Ambos valores forman una solución que satisface a las dos ecuaciones: $$\{(x, 15x-30)|x \in \mathbb{R}\}$$

Es posible construir un sistema de $m \times n$ para cualesquiera dos números $m$ y $n$ y después buscar soluciones simultáneas. Existen diferentes maneras de resolverlos y las herramientas del álgebra lineal y la teoría de ecuaciones nos permiten hacerlo.

En esta ocasión estudiaremos sistemas de $2 \times 2$ que son los sistemas más estudiados en secundaria y bachillerato y de los más usados en las aplicaciones. Su expresión genérica es la siguiente:

$$ \left\{\begin{array}{cccccc} ax & + & by & = & e\\ cx & + & dy & = & f \end{array} \right. $$

Aquí, $x,y$ son las incógnitas buscadas y $a,b,c,d,e$ y $f$ son números reales.

Entonces, por ejemplo, el siguiente es un sistema de ecuaciones lineales de $2 \times 2:$

$$\left\{\begin{array}{cccccc} x & + & y & = & 0\\ x & - & y & = & 2 \end{array} \right. $$

¿Puedes encontrar un par de valores reales, $x,y$ que satisfagan ambas ecuaciones?

¿Cómo resolver sistemas de ecuaciones?

Los sistemas de ecuaciones lineales pueden resolverse de formas distintas. Para resolver sistemas de $2 \times 2$ existen los siguientes métodos:

• Igualación
• Sustitución
• Suma y resta (o método de reducción)
• Método gráfico
• Regla de Cramer (en el que hay que usar determinantes)

Con los tres primeros métodos el objetivo es eliminar una de las incógnitas para obtener una ecuación de una sola incógnita y resolverla. Por esta razón a esos métodos se les conoce también como métodos de eliminación.

En esta ocasión estudiarás el método gráfico que es de mucha utilidad para sistemas de $2 \times 2.$

Método gráfico

Supongamos que dos corredores, Agustín y Alonso, corren de acuerdo a las siguientes ecuaciones:

$d = 3t + 12$ (ecuación del movimiento de Agustín)

$d = -3t + 36$ (ecuación del movimiento de Alonso)

Aquí $d$ indica la distancia recorrida medida en metros y $t$ el tiempo transcurrido medido en segundos. Nos preguntamos, ¿habrá un momento en que los corredores se crucen? esto significaría que existe un valor $t$ (y por tanto también $d$) para el cual se satisfacen ambas ecuaciones.

El método gráfico aprovecha que cada una de las ecuaciones del sistema representa una recta en el plano, entonces la idea será graficar estas rectas y buscar el punto en el que se cruzan.

Al seguir este procedimiento, se obtiene la solución buscada o se comprueba que no existe tal solución.

Empecemos entonces graficando cada una de las ecuaciones de movimiento que forman el sistema, puedes tabular algunos puntos para guiarte.

Como vimos, ambas gráficas son rectas. Tenemos entonces las siguientes tres posibles situaciones:

• Que las rectas no se crucen, es decir, son paralelas: entonces el sistema es inconsistente, no hay solución
• Que las rectas en un solo punto: entonces el sistema es consistente de solución única
• Que las dos ecuaciones representen la misma recta: el sistema es consistente y tiene ina infinidad de soluciones

Observa que en este último caso se tienen dos ecuaciones pero sus gráficas son la misma recta, es decir, no hay dos rectas sino una sola. Así, las soluciones simultáneas son todos los puntos de la recta: una infinidad.

Para el ejemplo de los corredores, tenemos un sistema consistente de solución única y al ver la gráfica observamos que el punto de cruce -es decir, la solución del sistema- es el de coordenadas $(4,24)$ por lo que se tiene que los corredores se encontrarán en un tiempo de $4$ segundos y una distancia de $24$ m.

Este método, si bien es fácil de usar, tiene la limitación de que no siempre el punto de cruce puede identificarse. Ciertamente contar con las gráficas nos permite identificar rápidamente el comportamiento de las ecuaciones, sin embargo, se vuelve poco práctico en muchas situaciones, por ejemplo si las coordenadas del punto de cruce no son números enteros, es muy probable que la solución tenga imprecisiones que pueden llevar a errores trascendentes.

Imagina si podrías distinguir entre el número $1/8$ y el $1/9$ o si fueran números muy grandes, digamos $x = 3501; y = 4727$ podríamos cambiar la escala, por supuesto, pero el espacio para una unidad ya no se distingue a simple vista y tendríamos la misma dificultad que con las fracciones, ¿podrías distinguir entre 3501 y 3510 cuando la escala considerada va de mil en mil?

Así, el método gráfico da una idea visión global del comportamiento, y puede sernos útil para encontrar la solución cuando las rectas se cruzan en valores enteros fácilmente identificables en el plano, pero en general, no es tan útil.

Autoevaluación

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones en tu cuaderno. Usa el método gráfico.