¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales?

Existen situaciones en las que se requiere el planteamiento y resolución simultánea de un grupo de ecuaciones. Si todas las ecuaciones son lineales, es decir cada una de sus incógnitas tiene exponente uno, entonces tenemos un sistema de ecuaciones lineales.

Podría ser que el sistema tuviera una sola incógnita o varias. Frecuentemente se usa la letra $m$ para indicar cuántas ecuaciones hay y la letra $n$ para indicar cuántas incógnitas tiene el sistema. Así, hablamos de un sistema de ecuaciones lineales de $m \times n$ si tenemos una colección de $m$ ecuaciones con $n$ incógnitas entre todas ellas.

Y decimos que forman un sistema si la intención es encontrar una solución simultánea, es decir, un conjunto de valores que satisfaga todas las ecuaciones del sistema. Esta solución podría existir o no.

Así por ejemplo, el siguiente es un sistema de $2 \times 1:$

$$ \left\{\begin{array}{cccccc} 2x & = & 3\\ \frac{2}{3}x & = & 1 \end{array} \right. $$

tiene dos ecuaciones y una sola incógnita: $x.$ No es difícil ver que la solución $x=\frac{3}{2}$ es simultánea, pues satisface las dos ecuaciones. Si un sistema de ecuaciones tiene solución decimos que es un sistema consistente y si no tiene solución se llama inconsistente.

Los sistemas consistentes pueden tener una sola solución o una infinidad de ellas.

El siguiente sistema, también de $2 \times 1$, es inconsistente pues no es posible encontrar un número real que, al sustituirse por $x$ en ambas ecuaciones, haga que las dos igualdades sean ciertas:

$$ \left\{\begin{array}{cccccc} 6x & = & 12\\ -8x & = & 24 \end{array} \right. $$

Este ejemplo es un sistema de $2 \times 2$, dos ecuaciones y dos incógnitas:

$$ \left\{\begin{array}{cccccc} 6x & - &0.4y&= & 12\\ -15x & + &y&= & -30 \end{array} \right. $$

Este sistema es consistente con una infinidad de soluciones, las representamos como un conjunto de parejas $(x,y)$, en la que cada pareja representa una solución simultánea de las dos ecuaciones del sistema.

Observa cómo son las parejas del conjunto. Para cada número real $x$ existe un valor $y$ definido por la expresión $15x-30$. Ambos valores forman una solución que satisface a las dos ecuaciones: $$\{(x, 15x-30)|x \in \mathbb{R}\}$$

Es posible construir un sistema de $m \times n$ para cualesquiera dos números $m$ y $n$ y después buscar soluciones simultáneas. Existen diferentes maneras de resolverlos y las herramientas del álgebra lineal y la teoría de ecuaciones nos permiten hacerlo.

En esta ocasión estudiaremos sistemas de $2 \times 2$ que son los sistemas más estudiados en secundaria y bachillerato y de los más usados en las aplicaciones. Su expresión genérica es la siguiente:

$$ \left\{\begin{array}{cccccc} ax & + & by & = & e\\ cx & + & dy & = & f \end{array} \right. $$

Aquí, $x,y$ son las incógnitas buscadas y $a,b,c,d,e$ y $f$ son números reales.

Entonces, por ejemplo, el siguiente es un sistema de ecuaciones lineales de $2 \times 2:$

$$\left\{\begin{array}{cccccc} x & + & y & = & 0\\ x & - & y & = & 2 \end{array} \right. $$

¿Puedes encontrar un par de valores reales, $x,y$ que satisfagan ambas ecuaciones?

¿Cómo resolver sistemas de ecuaciones?

Para resolver sistemas de $2 \times 2$ existen los siguientes métodos:

• Igualación
• Sustitución
• Suma y resta (o método de reducción)
• Método gráfico
• Regla de Cramer (en el que hay que usar determinantes)

Con los tres primeros métodos el objetivo es eliminar una de las incógnitas para obtener una ecuación de una sola incógnita y resolverla. Por esta razón a esos métodos se les conoce también como métodos de eliminación.

Aquí aprenderás a usar el segundo método: de eliminación por sustitución.

Eliminación por sustitución

Con este método se busca despejar una incógnita en una de las dos ecuaciones y sustituir el valor despejado en la otra ecuación.

Así, el método paso a paso será:

1. Despeja una de las incógnitas en cualquiera de las ecuaciones
2. Sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación. Obtendrás una ecuación lineal con una sola incógnita
3. Resuelve esa ecuación lineal
4. Sustituye el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones para, nuevamente, llegar a una ecuación lineal de una sola incógnita y resolverla

Veamos un ejemplo para practicar este método.

Resolver por sustitución el siguiente sistema:

$$ \left\{\begin{array}{cccccccc} 2x & + &y&= & 6 && (1)\\ 4x & + &3y&= & 14 && (2) \end{array} \right. $$

Despejamos alguna de las incógnitas, vemos que lo mejor es despejar $y$ de la primera ecuación -para obtener una expresión sin fracciones- tendremos: $y=6-2x$

Sustituimos en la segunda ecuación: $4x+3(6-2x)=14$

Realizamos operaciones:

$$4x+18-6x=14$$

$$ \Leftrightarrow -2x+18=14$$

$$ \Leftrightarrow -2x=14-18=-4$$

$$ \therefore x=\frac{-4}{-2}=2$$

Este resultado lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones del sistema, digamos en $(1):$

$$2(2)+y=6$$

$$ \Leftrightarrow 4+y=6$$

$$ \Leftrightarrow y=6-4=2$$

De esta manera la solución es $x=2$ y $y=2$

Como puedes ver, es cuestión de practicar. Vayamos a un ejercicio más.

Se realiza una excursión al Iztaccíhuatl y se establece en el cuello de la montaña un campamento, el guía pide que ingieran cierta cantidad de leche y jugo de naranja que les permitirá tener la energía necesaria para realizar con éxito la escalada, si sabemos que $1$ onza de leche contiene $38$ mg de calcio y $56$ $\mu$g (microgramos) de vitamina A y $1$ onza de jugo de naranja contiene $5$ mg de calcio y $60$ $\mu$g de vitamina A. ¿Cuántas onzas de leche y jugo de naranja deberán tomar para obtener exactamente $555$ mg de calcio y $1200 \mu$g de vitamina A?

Después de leer con detenimiento el problema, definamos las incógnitas. Sean,

$x:$ cantidad de leche en onzas

$y:$ cantidad de jugo en onzas

Ahora proponemos las ecuaciones

$38x+5y=555$ cantidad de calcio

$56x+60y=1200$ cantidad de vitamina A

Por lo que el sistema de ecuaciones queda de la manera siguiente:

$38x+5y=555 \qquad (1)$

$56x+60y=1200 \qquad (2)$

despejamos $y$ de $(1):$

$5y=555-38x$

$y=\frac{555-38x}{5}$

Sustituimos en $(2):$

$56x+60y=1200$

$56x+60(\frac{555-38x}{5})=1200$

Realizamos las operaciones:

$56x+(\frac{60}{5})(555-38x)=1200$

$56x+(12)(555-38x)=1200$

$56x+6660-456x=1200$

$56x-456x=1200-6660$

$-400x=-5460$

$x=\frac{-5460}{-400}$

$x=13.65$

Sustituimos en cualquiera de las ecuaciones, digamos en $(2):$

$56x+60y=1200$

$56(13.65)+60y=1200$

$764.4+60y=1200$

$60y=1200-764.4$

$60y=435.6$

$y=\frac{435.6}{60}$

$y=7.26$

Por lo que deben consumir $13.65$ onzas de leche y $7.26$ onzas de jugo de naranja.

Autoevaluación

Recuerda que la práctica hace al maestro y para fortalecer tu aprendizaje, te invitamos a realizar la siguiente actividad.

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones en tu cuaderno. Usa el método de eliminación por sustitución.