¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales?

Existen situaciones en las que se requiere el planteamiento y resolución simultánea de un grupo de ecuaciones. Si todas las ecuaciones son lineales, es decir cada una de sus incógnitas tiene exponente uno, entonces tenemos un sistema de ecuaciones lineales.

Podría ser que el sistema tuviera una sola incógnita o varias. Frecuentemente se usa la letra $m$ para indicar cuántas ecuaciones hay y la letra $n$ para indicar cuántas incógnitas tiene el sistema. Así, hablamos de un sistema de ecuaciones lineales de $m \times n$ si tenemos una colección de $m$ ecuaciones con $n$ incógnitas entre todas ellas.

Y decimos que forman un sistema si la intención es encontrar una solución simultánea, es decir, un conjunto de valores que satisfaga todas las ecuaciones del sistema. Esta solución podría existir o no.

Así por ejemplo, el siguiente es un sistema de $2 \times 1:$

$$ \left\{\begin{array}{cccccc} 2x & = & 3\\ \frac{2}{3}x & = & 1 \end{array} \right. $$

tiene dos ecuaciones y una sola incógnita: $x.$ No es difícil ver que la solución $x=\frac{3}{2}$ es simultánea, pues satisface las dos ecuaciones. Si un sistema de ecuaciones tiene solución decimos que es un sistema consistente y si no tiene solución se llama inconsistente.

Los sistemas consistentes pueden tener una sola solución o una infinidad de ellas.

El siguiente sistema, también de $2 \times 1$, es inconsistente pues no es posible encontrar un número real que, al sustituirse por $x$ en ambas ecuaciones, haga que las dos igualdades sean ciertas:

$$ \left\{\begin{array}{cccccc} 6x & = & 12\\ -8x & = & 24 \end{array} \right. $$

Este ejemplo es un sistema de $2 \times 2$, dos ecuaciones y dos incógnitas:

$$ \left\{\begin{array}{cccccc} 6x & - &0.4y&= & 12\\ -15x & + &y&= & -30 \end{array} \right. $$

Este sistema es consistente con una infinidad de soluciones, las representamos como un conjunto de parejas $(x,y)$, en la que cada pareja representa una solución simultánea de las dos ecuaciones del sistema.

Observa cómo son las parejas del conjunto. Para cada número real $x$ existe un valor $y$ definido por la expresión $15x-30$. Ambos valores forman una solución que satisface a las dos ecuaciones: $$\{(x, 15x-30)|x \in \mathbb{R}\}$$

Supongamos que dos corredores, Agustín y Alonso, corren de acuerdo a las siguientes ecuaciones:

$d = 3t + 12$ (ecuación del movimiento de Agustín)

$d = -3t + 36$ (ecuación del movimiento de Alonso)

Aquí $d$ indica la distancia recorrida medida en metros y $t$ el tiempo transcurrido medido en segundos. Nos preguntamos, ¿habrá un momento en que los corredores se crucen? esto significaría que existe un valor $t$ (y por tanto también $d$) para el cual se satisfacen ambas ecuaciones.

El procedimiento para resolver sistemas de ecuaciones mediante igualación es el siguiente:

1. Despeja la misma incógnita en cada ecuación
2. Iguala las expresiones a las que llegaste al despejar, tendrás una ecuación lineal de una sola incógnita
3. Resuelve esa ecuación lineal
4. Sustituye el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones para, nuevamente, llegar a una ecuación lineal de una sola incógnita y resolverla

Al seguir este procedimiento, se obtiene la solución buscada o se comprueba que no existe tal solución.

Observa que en los dos últimos pasos, estarás resolviendo dos ecuaciones lineales de una sola incógnita. Podría ocurrir que al hacerlo, llegaras a una expresión contradictoria (por ejemplo: $1=0$) esto te diría que el sistema no tiene solución simultánea, es decir, es inconsistente.

Volvamos al problema de los corredores y veamos qué sucede. En ambas ecuaciones la variable $d$ está despejada, por lo que igualamos las expresiones: $$3t+12=-3t+36$$

Hacemos operaciones para obtener una ecuación lineal de una sola incógnita, en este caso $t$, y esto lo hacemos colocando los términos que tienen que ver con la incógnita de un lado y los términos independientes del otro lado:

$3t+12=-3t+36$

$\Leftrightarrow 6t=36-12=24$

$\Leftrightarrow \frac{6t}{6}=\frac{24}{6}$

$\therefore t=4$

Ahora sustituimos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones, digamos en la ecuación de Agustín:

$d=3t+12$

$d=3(4)+12=12+12=24$

$\therefore d=24$

Por lo tanto, tenemos que los corredores se encontrarán en un tiempo de $4$ segundos y una distancia de $24$ m.

¿Ves que no ha sido difícil?, vayamos a un ejemplo más.

Nos han aplicado un examen de opción múltiple, las preguntas correctas suman un punto y las incorrectas restan medio punto. En total hay $100$ preguntas y no se admiten respuestas en blanco (hay que contestar todas). La nota que obtuvimos es de $80.5$ sobre $100.$ Calcular el número de preguntas que contestaste correcta e incorrectamente.

Primero debemos plantear las incógnitas, definamos:

$x:$ número de respuestas correctas

$y:$ número de respuestas incorrectas

Como las suma de las respuestas correctas e incorrectas debe ser el total de las preguntas, entonces $x+y=100$

Ahora, sabemos que por cada respuesta correcta se tiene un punto y por cada incorrecta se resta $0.5$, por lo que la ecuación es: $1x-0.5y=80.5$

Como $1x=x,$ podemos reescribir $x-0.5y=80.5$

Por lo que nuestro sistema de ecuaciones queda de la manera siguiente:

$x+y=100 \qquad (1)$

$x-0.5y=80.5 \quad (2)$

Sigamos el método, despeja alguna de las variables tratando de obtener una ecuación lineal que te sea fácil de manejar. Digamos que eliges $x,$ entonces,

en $(1)$ se tiene $x=100-y$

y en $(2)$ se tiene $x=80.5+0.5y$

Ahora igualamos ambas ecuaciones

$100-y=80.5+0.5y$

Pasamos a la izquierda las $y’s$

$-y-0.5y=80.5-100$

$-1.5y=-19.5$

$y=\frac{-19.5}{-1.5} =13$

Sustituimos el valor de $y$ en cualquiera de las ecuaciones, lo haremos en (1) pero puede ser cualquiera de las dos:

$x=100-y$

$x=100-13$

$x=87$

Así, la solución es $x=87$ y $y=13$ por lo que concluimos que se han respondido $87$ preguntas correctamente y $13$ de forma incorrecta.

Autoevaluación

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones en tu cuaderno. Usa el método de eliminación por igualación.