Las ecuaciones son muy viejas

Las ecuaciones son nobles aliados que nos permiten encontrar respuestas a diversos problemas que pueden modelarse de forma matemática. Hablemos un poco de la historia de las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado.

En tiempos remotos, en las transacciones comerciales y la medición de tierras destinadas a la agricultura, el ser humano se enfrentó a situaciones que trascendían las operaciones aritméticas básicas y empezó a formular y resolver ecuaciones lineales y cuadráticas. Hay registros de ellas (que se remontan a unos 2000 años antes de Cristo) en diversas culturas antiguas como son la babilónica y la egipcia. Posteriormente, en los primeros siglos de nuestra era, los árabes, indios y griegos trabajaron con ecuaciones, no sólo para resolver problemas inmediatos, sino también por la curiosidad y el afán de vencer un reto e hicieron valiosas aportaciones inclusive para la solución de las ecuaciones de tercer grado en las que incorporaron ingeniosos trazos geométricos.

En los primeros procedimientos para resolver las ecuaciones, encontramos ideas llenas de astucia que van desde proponer un valor inicial e irlo “ajustando” para obtener el resultado, hasta métodos que describían una serie de pasos a seguir, ya sea para construir una figura geométrica en la que la longitud de un segmento era la solución buscada, o mostrando las operaciones que debían aplicarse. En todos esos avances se recurría a la lengua propia del lugar, es decir, no había símbolos para representar las operaciones ni las incógnitas, lo que dificultaba enormemente la resolución. A ese periodo de gestación del álgebra se le denomina etapa retórica.

Ante la dificultad de enunciar los pasos a seguir solamente con palabras, se empezaron a usar abreviaturas que derivaron posteriormente en algunos símbolos. Sin embargo, aunque se facilitaba un poco la tarea, no era suficiente. Esta etapa de la historia de las ecuaciones y de manera más general del álgebra se le conoce como álgebra sincopada.

Los símbolos $$+, –, =$$ se fue incorporando paulatinamente durante los siglos XVI, XVII y XVIII. También empezaron a usarse pequeños números para indicar los exponentes y letras para denotar variables y parámetros, dando pauta a lo que hoy llamamos álgebra simbólica.

La ecuación de Ana Gabriela

El grado de una ecuación lo determina el mayor exponente al que está elevada la incógnita. Por ello, lo que caracteriza a las ecuaciones de segundo grado es la presencia del llamado término cuadrático ($ax^2, t^2, -8z^2,$ etc). Eso nos lleva, además de sumar, restar, multiplicar o dividir, a utilizar la raíz cuadrada para obtener el valor de la incógnita.

¿Recuerdas a Ana Gabriela Guevara, quien fuera velocista olímpica hace algunos años?, supongamos que la ecuación que modeló su carrera para recorrer los primeros 5 metros del trayecto en el arranque de una carrera está dada por la ecaución $1.7t^2 = 5.$

Para despejar la incógnita tenemos que eliminar primero el coeficiente $1.7$ y después extraer raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación, esto es:

$$1.7t^2 = 5$$

$$\Rightarrow t^2 = \frac{5}{1.7}$$

$$\Rightarrow \sqrt{t^2} = \sqrt{\frac{5}{1.7}}$$

$$ \Rightarrow t = \pm \sqrt{\frac{5}{1.7}}$$

$$\therefore t = \pm 1.7149$$

con lo que obtenemos dos soluciones: $$t = \pm 1.7149$$ Aunque en el contexto del modelo de la carrera de Anita sólo tenía sentido la solución positiva, en realidad la ecuación tiene dos soluciones. Éstas corresponden a las abscisas en los que la función $f(t)= 1.7t^2$ cruza a la recta $y = 5.$

Como las ecuaciones $1.7t^2 = 5$ y $1.7t^2 - 5 = 0$ son equivalentes, también podemos decir que las dos soluciones $t = \pm 1.7149$ corresponden a las abscisas de los puntos en los que la parábola $y = 1.7t^2 - 5$ cruza al eje $x$.

Así, en general, las soluciones -también llamadas raíces- de una ecuación cuadrática representan las abscisas de los puntos donde su gráfica, que es una parábola, toca al eje de las $x$.

Para las ecuaciones de la forma  $ax^2 + c = 0$ las soluciones son números opuestos $r$ y $–r$, es decir, uno es el inverso aditivo del otro.

Veamos algunos ejemplos

Resolvamos la ecuación $2x^2 - 32 = 0$

$$2x^2 - 32 = 0$$

$$\Leftrightarrow 2x^2 = 32$$

$$\Leftrightarrow x^2 = 16$$

$$ \therefore x = \pm \sqrt{16} = \pm 4$$

Así las soluciones son: $x_1=4$ y $x_2= –4$, las abscisas de los puntos donde la gráfica corta al eje $x$.

Cuando hacemos $y=0$ y buscamos las soluciones de la ecuación $f(x)=0$ estamos buscando justamente esos puntos de cruce. Para este ejemplo, hemos encontrado que $0 = 2x^2 - 32 \Leftrightarrow x=\pm 4$.

¿Y siempre hay dos soluciones?

En la figura siguiente, están las gráficas de las funciones $y=2x^2$, y $y = x^2 + 5$. Obsérvalas y analiza en qué puntos cada una de las parábolas corta al eje de las $x.$

¿Qué pasará al resolver las ecuaciones respectivas $2x^2 = 0$ y $x^2 + 5 = 0$? ¿Tú qué piensas?

Veamos por separado cada ejemplo. Relacionemos lo que observamos en la gráfica con lo que obtuvimos al resolver la ecuación respectiva.

En el primer caso, seguramente notaste que el vértice $V(0,0)$ de la parábola $y=2x^2$ es el único punto que toca al eje $x$. Por ello, su abscisa es la única solución de la ecuación $2x^2 = 0$, como comprobamos al resolverla, obtuvimos un único resultado: $x=0$. Decimos esntonces que la abscisa del vértice es una raíz doble.

En el caso de la función cuadrática $y = x^2 + 5$, observamos que la parábola no toca al eje $x.$ Al formular la ecuación $x^2 + 5 = 0,$ estamos preguntando para qué valor real $x$, la $y=x^2 + 5$ vale cero. Concluimos que no existe ningún número real que cumpla la ecuación. Esto es porque cualquier número real al elevarlo al cuadrado nos da un número positivo o cero. Las soluciones de este tipo de ecuaciones se encuentran dentro del campo de los números complejos. Como estamos trabajando con números reales, diremos simplemente que la ecuación no tiene solución o no tiene raíces reales.

Así, a diferencia de las ecuaciones lineales que siempre tienen raíz real, las ecuaciones cuadráticas pueden tener dos, una, o ninguna solución en el conjunto de los números reales.

Entonces, podemos saber si la ecuación $ax^2 + bx+c=0$ tiene dos, una o cero raíces, observando la gráfica de la función $y=ax^2 + bx+c$ y viendo si toca al eje $x$ en dos puntos, en uno o no lo toca.

Autoevaluación

Para fijar mejor estas ideas, te invitamos a resolver la siguiente actividad.

Relaciona las dos columnas siguientes.

Respuestas:

a) Etapa retórica

b) Aztecas, Incas y Mesopotámicos

c) $x, /, =,$ parámetros y exponentes

d) Abreviaturas

e) Uso de abreviaturas que deriva en símbolos

f) Verdadero

g) Árabes, indios y griegos

h) $5,0$

i) Uso de símbolos que derivan en abreviaturas

j) $5,-5$

k) $9$

l) $-4, 4$

m) $3$

n) Símbolos

o) El mayor exponente al que está elevada la incógnita

p) $+, –, =$ parámetros y exponentes

q) El mayor coeficiente de $x$

r) Falso

s) No tiene solución en los números reales