Determinantes
Los determinantes son de gran utilidad para resolver sistemas de ecuaciones lineales, - es decir para encontrar soluciones simultáneas a varias ecuaciones- además, su interpretación geométrica permite calcular, áreas y volúmenes de algunas figuras geométricas en el plano o en el espacio.
El determinante es un número real asociado a una matriz cuadrada -que tiene el mismo número de renglones que de columnas-, si la matriz es de $2 \times 2$ -dos renglones y dos columnas- decimos que es un determinante de orden $2$, y en general el determinante de una matriz de $n \times n$ se llama determinante de orden $n$.
Para la resolución de sistemas de ecuaciones, usamos determinantes al aplicar la Regla de Cramer -publicada en 1750 por Gabriel Cramer (Ginebra, 1704-1752)- que describe explícitamente las soluciones de un sistema de $n$ ecuaciones con $n$ incógnitas, en términos de los valores de $n+1$ determinantes asociados al sistema.
Veremos cómo se calcula un determinante de orden $2$ y en qué consiste la Regla de Cramer. Observa la siguiente matriz de $2 \times 2$:
$$ A= \left(\begin{array}{ccc} 3 & 2\\ 8 & -1 \end{array}\right) $$Hay varias maneras de denotar el determinante de $A$, las más comunes son: $|A|$, $det (A)$, $\Delta A$ y $\left|\begin{array}{ccc} 3 & 2\\ 8 & -1 \end{array}\right|$. Estas son las que podrás encontrarte en algún libro de álgebra. Observa que la última, es muy parecida a la forma en que se expresa la matriz $A$ pero no las confundas.
Mientras que $\left(\begin{array}{ccc} 3 & 2\\ 8 & -1 \end{array}\right)$ es una matriz de $2 \times 2$, su determinante $\left|\begin{array}{ccc} 3 & 2\\ 8 & -1 \end{array}\right|$ es un número real.
En esta ocasión usaremos las dos últimas notaciones indicadas. Esta es la regla para obtener el valor del determinante de $A$:
$$\left|\begin{array}{ccc} \textcolor[rgb]{0,0,1}{3} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{2}\\ \textcolor[rgb]{1,0,0}{8} & \textcolor[rgb]{0,0,1}{-1}\\ \end{array}\right|= (\textcolor[rgb]{0,0,1}{3})(\textcolor[rgb]{0,0,1}{-1}) - (\textcolor[rgb]{1,0,0}{ 8})(\textcolor[rgb]{1,0,0}{2})=-3-16=-19$$Observa que lo que hicimos fue multiplicar los elementos de las diagonales de la matriz $A$ y restarlos. En general, si $B$ es una matriz de $2 \times 2$ cualquiera, se define $\Delta B$ como:
$$ B= \left(\begin{array}{ccc} \textcolor[rgb]{0,0,1}{a} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{b}\\ \textcolor[rgb]{1,0,0}{c} & \textcolor[rgb]{0,0,1}{d} \end{array}\right) \Rightarrow \Delta B= \textcolor[rgb]{0,0,1}{a}\textcolor[rgb]{0,0,1}{d}-\textcolor[rgb]{1,0,0}{c}\textcolor[rgb]{1,0,0}{b} $$