Desintegración radiactiva

La desintegración radiactiva o radioactividad forma parte de los procesos de la naturaleza y, por ello, ha estado presente en la evolución de nuestro planeta y en el ciclo de la vida.

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Desintegración radiactiva

Cuando escuchamos las palabras radiación, sustancia radiactiva o radioactividad, generalmente vienen a nuestra mente imágenes de las bombas atómicas y sus consecuencias. En el mejor de los casos, a veces también pensamos en los rayos X, en radiografías e incluso en Madame Curie, pero es poco probable que asociemos esas palabras con hechos y fenómenos naturales.

Sin embargo, la desintegración radiactiva o radioactividad forma parte de la naturaleza y, por ello, ha estado presente en la evolución de nuestro planeta y en el ciclo de la vida. Éste es un proceso en el que los átomos de algunos elementos -llamados elementos radiactivos- liberan energía através de partículas o mediante radiación electromagnética, provocando que se desintegren o se transformen en otros elementos. La radiación natural a la que estamos todos expuestos, proviene principalmente de tres fuentes:

De los isótopos radiactivos presentes en la corteza terrestre. Su incidencia en un lugar determinado, depende del tipo y cantidad de rocas que estén ahí.

De la radiación cósmica que procede del espacio exterior, misma que varía según la altitud sobre el nivel del mar.

De los isótopos radiactivos que forman parte de los seres vivos, entre ellos el carbono 14, cuya cantidad depende de la edad y de la dieta.

Por su parte, el ser humano ha producido una cuarta fuente de radioactividad, inducida o artificial, al descubrir y estudiar las propiedades radiactivas de algunos elementos químicos. Ésta la ha utilizado a su favor en numerosos y diversos ámbitos, resaltando de manera destacada las aplicaciones en el campo de la medicina, ya sea para emitir diagnósticos o bien en el tratamiento de diversas enfermedades. Sin embargo, desgraciadamente, también la ha incorporado a sus recursos bélicos.

Los átomos que constituyen a los elementos químicos tienen un núcleo en el que se encuentran los protones de carga positiva y los neutrones sin carga eléctrica. Alrededor del núcleo giran los electrones cuya carga es negativa. Cada elemento químico tiene propiedades que lo distinguen de los demás dependiendo de su estructura interna, es decir, dependiendo del número de partículas con carga eléctrica de sus átomos y de la forma en que los electrones están distribuidos en los diversos niveles u órbitas.

En el núcleo del átomo de cada elemento se encuentran neutrones y protones. La suma de ambos constituye su número másico o masa atómica. Todos los átomos de un elemento tienen el mismo número de protones: su cantidad es lo que se conoce como número atómico del elemento. Sin embargo, existen elementos químicos, que tienen átomos con diferente número de neutrones en el núcleo -y por tanto diferente número másico- a éstos se les llama isótopos.

Algunos isótopos son inestables o radiactivos, para alcanzar su estabilidad pierden energía cuando sus electrones emiten radiaciones, o incluso pierden neutrones y protones llegando a convertirse en otro elemento. Actualmente se sabe que cuando existe una cierta cantidad de algún isótopo radiactivo, en su afán por estabilizarse, se pierde el 50% de los átomos existentes cada cierto periodo de tiempo.

A este periodo de tiempo, se le conoce como  vida media del isótopo y es la cantidad de tiempo eu que se pierde la mitad  de átomos de un isótopo. La vida media puede ser tan sólo de unos días, como es el caso del Polonio 210, o de ¡cuatro mil quinientos millones de años!, como sucede con el uranio 238.

Con la vida media se mide la estabilidad del elemento, cuanto más corta sea la vida media, más inestable es el elemento.

Como sabes, la materia orgánica está formada por átomos de carbono y un isótopo radiactivo. Este elemento isótopo es el carbono 14.  Cuando un ser vivo muere, el carbono 14 deja de incorporarse al organismo y su cantidad disminuye. Así, al morir se van perdiendo átomos de carbono 14 con el transcurso del tiempo así es como se manifiesta la desintegración radiactiva en los seres vivos. Esta desintegración radiactiva se produce de manera exponencial, y como en vez de crecer la cantidad de átomos radiactivos va disminuyendo, corresponde a un decaimiento exponencial.

Así, la función que modela el decaimiento exponencial de la desintegración radiactiva del carbono 14 es $$f(t) = P_0 e^{-rt}$$

donde $t$ es el tiempo y $P_0$ la cantidad inicial de átomos de carbono 14 existentes en el organismo analizado. El parámetro $r$ lo revisaremos más adelante. Antes veamos un ejemplo de aplicación de la función.

La siguiente imagen ilustra las diversas formas en que el carbono 14 interviene en el ciclo de la vida.

Veamos en una gráfica cómo va disminuyendo, en el transcurso del tiempo, el número de átomos de carbono 14 que tenía un organismo vivo al momento de su muerte. Estamos llamando $T$ al lapso de 5730 años que constituyen la vida media de este elemento.

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Observa que después de que han transcurrido 17 190 años ($3T$) en el organismo sólo queda la octava parte del número inicial de átomos de carbono 14 (cuyo símbolo es 14C), es decir sólo el 12.5%. ¿Qué porcentaje de átomos se tendrá después de $4T$ (22 920 años)?

La cantidad de átomos desciende rápidamente. ¿Por qué crees que la prueba del carbono 14 no es muy confiable después de 50,000 años? ¿Cuántas vidas medias del 14C habrán transcurrido a los 50 000 años? ¿Qué porcentaje de átomos tendrá un organismo con esa antigüedad?

Para entender por qué después de 50,000 años ya no es muy útil este elemento radiactivo para determinar una fecha, necesitamos calcular qué porcentaje de  14C se tendrá en algún material orgánico que exceda esta cantidad de años. Para ello, divide $50 000 \div 5730$ que es $8.73$ aproximándolo a dos decimales. Es decir, casi nueve veces la vida media del  14C. Como en cada una se pierde la mitad de los átomos que se tenía en la anterior, el porcentaje disminuye rápidamente.

Veamos esto en una tabla:

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Como puedes observar, a partir de que tenemos siete veces el periodo de vida media, el porcentaje de átomos de 14C en un material orgánico es menor al 1%.

Cuando tenemos $9T$ ($51 570$ años) queda menos de la quinta parte del 1%. Con un porcentaje tan pequeño ya es difícil hacer predicciones confiables.

Sabemos que la función de decaimiento es de la forma $f(t) = P_0 e^{-rt}$ y sabemos qué significan $P_0$ y $t$, centremos ahora nuestra atención en el parámetro $r$. Tenemos que la desintegración radiactiva se relaciona con el ritmo de decaimiento o tasa anual de decaimiento es decir, la tasa anual con que disminuye el porcentaje de átomos de 14C, en ésta necesariamente debe incidir la vida media, pero ¿cómo? esto es lo que mide $r$ Veamos cómo  utilizarla para calcular este parámetro.

En el ejemplo mostrado, vimos que a partir de una cantidad inicial $P_0$, después de $t=5730$ años se tendrá la mitad de $P_0$ es decir, $\frac{1}{2}P_0 = 0.5P_0$. Con esto en mente podemos plantear la siguiente ecuación cuya incógnita es $r$ $$0.5P_0=P_0 e^{-r(5730)}$$

Si dividimos entre $P_0$ los dos lados de la ecuación tenemos: $$0.5= e^{-r(5730)}$$

Aplicando el logaritmo base $e$, es decir, el logaritmo natural  de ambos lados de la ecuación tenemos:

$$ln (0.5) = ln (e^{-r(5730)})$$ $$\Leftrightarrow ln(0.5) = -r(5730)$$ $$\therefore r= \frac{- ln (0.5)}{5730}$$

Ya tenemos a $r$ despejada, nos hace falta calcular $ln (0.5)$  para dividirlo entre $-5730$ y llegar al resultado final. Para hallar ese valor afortunadamente podemos utilizar cualquier calculadora científica. En éstas sólo aparecen los logaritmos base $e$ y base $10$ pues son los que se aplican más comúnmente. Así, el resultado es:

$$r= - \frac{ln (0.5)}{5730}= \frac{-0.693}{-5730}$$ $$\therefore r= 0.000121$$

Ya con el valor exacto del parámetro $r$, obtenemos la función exponencial que proporciona la cantidad de átomos de carbono 14 que tiene un material orgánico que inició con una cantidad $P_0$.

Entonces, la función que modela la desintegración radiactiva del carbono 14 es:

$$f(t) = P_0 e^{-0.000121 \: t}$$

El valor de $P_0$ no es fijo, depende de cada organismo (ser humano, perro, caballo, árbol, semilla, etc.) y de cada material orgánico (papiro, papel, algodón, lino, etc.) mediante el uso de instrumentos especializados es posible contar los átomos de 14C que aún tiene un fósil y así obtener su antigüedad.

Veamos unos ejemplos:

a) Dentro del museo de Guanajuato, la momia más antigua data de 1865 ¿Qué porcentaje de átomos de 14C  tiene?

Como la función $f(t) = P_0 e^{-0.000121 \: t}$ proporciona la cantidad que hay de carbono 14 después de que ha transcurrido $t$ años desde la muerte de un organismo, sólo tenemos que sustituir el valor de $t$ correspondiente. En este caso, se nos informa que la muerte ocurrió en 1865, ¿cuántos años han transcurrido desde entonces hasta el 2017? ¡Basta hacer una resta! Así, sabemos que $t=152$.  Si sustituimos ese valor, tenemos:

$$f(152) = P_0 e^{-0.000121 \: (152)}$$ $$f(152) = P_0 e^{-0.018392}$$ $$f(152) = P_0 (0.9817)$$

Interpretemos este resultado. Significa que después de $152$ años de haber fallecido esta persona, su momia tiene $0.9817$ (redondeado a cuatro decimales) de la cantidad inicial $P_0$ de los átomos de carbono 14 que tenía al morir. Así, el porcentaje que aún queda de la cantidad inicial de 14C es el 98.17%

b) Si los restos de un mamut encontrado en el Valle de los Mamuts en el Estado de México, tienen una antigüedad aproximada de $10\: 500$ años. ¿Cuál es el porcentaje de átomos de 14C que actualmente tiene? Como ya nos dan la antigüedad, sustituimos ese valor en la función para obtener:

$$f(10\: 500) = P_0 e^{-0.000121 (10500)}$$ $$f(10\: 500) = P_0 e^{-1.26}= P_0 (0.2807)$$

Entonces esos restos de mamut tienen aún el 28.07% de la cantidad original $P_0$.

c) Ahora, veamos la situación inversa. Es decir, a partir del dato del porcentaje de 14C calcularemos la antigüedad de un objeto.

La momia de Tutankhamon, descubierta por Howard Carter el 26 de nov de 1922, tenía en el año 2007 el 66.82% de átomos de 14C de la cantidad inicial $P_0$ de los átomos de carbono 14 que tenía cuando falleció este faraón ¿Cuál es la antigüedad de la momia?

Ahora nuestra incógnita es el tiempo transcurrido desde la muerte del faraón Tutankhamon y la encontraremos a partir del dato sobre el porcentaje que se tiene de la cantidad inicial $P_0$. Así, si planteamos la siguiente ecuación podremos encontrar $t$. Observa que 66.82% equivale a 0.6682 en notación decimal. Por lo que:

$$f(t) = 0.6682 P_0= P_0 e^{-0.000121 \: t}$$

Para despejar $t$, que es un exponente, primero dividimos entre $P_0$ la ecuación y luego aplicamos logaritmo natural. Así:

$$0.6682 = e^{-0.000121 t}$$ $$\Leftrightarrow ln (0.6682) = ln (e^{-0.000121\: t})$$ $$\Leftrightarrow ln (0.6682) = -0.000121 \: t$$ $$\Leftrightarrow t= \frac{- ln (0.6682)}{0.000121}$$ $$\Leftrightarrow t= -\frac{-0.40317}{ 0.000121}$$ $$\therefore t= 3331.98$$

Redondeando el resultado, podemos considerar que la antigüedad de la momia de Tutankhamon es de 3332 años. Si a esta cantidad le restamos los 2007 años transcurridos al momento de hacer la estimación, obtenemos que este faraón murió aproximadamente en 1325 a.C.

Autoevaluación

Es momento de repasar lo aprendido.

  1. El Papiro de Rhind, también conocido con el nombre de papiro de Ahmed (correspondiente al nombre del escriba) es un texto con problemas matemáticos. Se sabe que fue escrito aproximadamente en el año 1650 antes de Cristo, ¿Qué porcentaje de átomos de 14C tiene?

  2. ¿Cuál es la antigüedad del Papiro de Moscú si se sabe que tiene el 62.40% de átomos de carbono 14?

  3. Al analizar los restos orgánicos de las pinturas de la cueva de Lascaux en Francia se observa que se tiene un porcentaje de 12.77% de carbono 14, ¿Qué tan antiguas podrían ser las famosas pinturas de esta cueva?

  4. El Cobalto 60 radiactivo tiene una vida media de 5271 años. Éste se utiliza para la esterilización del equipo médico ¿Para tener el 28% de este material cuántos años deben transcurrir?