Tablas de verdad de las conectivas lógicas: conjunción y negación

La tabla de la conjunción

Una tabla de verdad es un instrumento que nos permite analizar los valores de verdad que una proposición simple o compuesta puede asumir de acuerdo con determinada interpretación. También nos sirve para evaluar la validez de los argumentos deductivos.

En la Lógica que estudiamos, que es una Lógica bivalente, sólo se manejan dos valores de verdad: verdadero (que se abrevia con V) y falso (que se abrevia con F).

Para poder hacer dicho análisis, necesitamos saber cuáles son los valores de verdad de cada una de las conectivas. Cada conectiva lógica tiene su tabla de verdad, es decir, nos señala los criterios para decir cuándo una proposición es verdadera o falsa.

También es necesario que antes de adentrarte al tema repasemos la tabla de las conectivas lógicas.

Nota.- Para una misma conectiva se pueden utilizar distintos símbolos que tienen el mismo significado. Como puedes observar en la tabla casi para todas las conectivas hay dos símbolos (excepto para la disyunción), que se pueden utilizar indistintamente porque significan lo mismo.

Veamos paso a paso la construcción de una tabla de verdad. Iniciaremos con la tabla de la conjunción.

La tabla de la conjunción

Pongamos como ejemplo la proposición compuesta:

“Luis es inteligente y simpático”

Paso 1

Determino cuántas proposiciones simples tengo:

En este caso observo que tengo dos:

“Luis es inteligente”
“Luis es simpático”

Recordemos que por cuestiones de estilo no repito el sujeto, pero sé que en ambas oraciones me refiero al mismo sujeto, que en este caso es Luis.

Paso 2

Represento cada proposición simple con una letra. Se acostumbra usar la letra p para la primera proposición y la letra q para la segunda:

p: “Luis es inteligente”
q: “Luis es simpático”

Paso 3

Traduzco la proposición compuesta a lenguaje simbólico:

p ∧ q

Paso 4

Dibujo una tabla en la que quedarán escritas las proposiciones en la parte superior y los valores de verdad que asumen las mismas justo debajo de ellas. Para saber cuántas posibles combinaciones de verdad tiene mi proposición compuesta aplico la siguiente fórmula:

Número de combinaciones = 2ⁿ

El 2 se refiere a los valores de verdad que puede asumir una proposición (que dentro de esta Lógica sólo son dos: verdadero o falso) y n se refiere al número de proposiciones simples que conforman la proposición de la que queremos construir la tabla.

En el ejemplo tenemos 2 proposiciones simples, por lo que:

Número de combinaciones = 2² = 2 x 2 = 4

Con ello sé que mi tabla tendrá cuatro filas o renglones.

Ahora puedo dibujar la tabla:

Para asignar los valores de verdad de las proposiciones simples escribo los valores de derecha a izquierda y anoto una V (de verdadero) y una F (de falso), en la siguiente columna duplico el número de verdades y de falsedades. Si hubiera una tercera proposición simple sigo duplicando, es decir tendría cuatro verdades y cuatro falsedades y así sucesivamente.

Con esta operación obtengo:

Paso 5

Analizo la verdad o falsedad de cada renglón de la tabla de la proposición compuesta p ∧ q

El funcionamiento de esta conectiva es similar a una conexión eléctrica de lámparas en serie: cuando una de las lámparas no funciona, la serie deja de funcionar. De la misma manera si uno de los dos elementos de la conjunción de nuestro ejemplo es falso, entonces la conjunción es falsa.

Observa:

Si Luis es inteligente pero no es simpático, entonces toda la proposición compuesta es falsa.
Si Luis es simpático, pero no es inteligente, entonces toda la proposición compuesta sigue siendo falsa.
Si resulta que Luis no es ni inteligente ni simpático, entonces toda la proposición es falsa.
Tenemos pues que en una proposición compuesta cuya conectiva lógica principal es una conjunción, es indispensable que sean verdaderas las dos proposiciones simples que la componen, es decir debe ser cierto que Luis es a la vez inteligente y simpático.

De esta forma tenemos la siguiente tabla:

Esta tabla nos indica las combinaciones de valores de verdad que puede asumir esta proposición y nos permite ver que una conjunción es verdadera únicamente cuando las oraciones que la componen son verdaderas y es falsa en cualquier otra combinación de valores de verdad.

Tabla de verdad de la negación

Una vez que hemos aprendido a construir la tabla de verdad de la conjunción, veamos en detalle cómo se construye la tabla de verdad de la "negación".

Partamos del ejemplo:

“Luis no es inteligente”