Cuando hablamos de la clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos, se dice que un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto, es decir, de 90°. Los lados que forman el ángulo de 90° son llamados catetos y el lado del triángulo opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. Por ejemplo, la figura que se forma al colocar una escalera sobre una pared.

La parte de la escalera desde el piso hasta el contacto con la pared, sería la hipotenusa, la distancia de la pared hasta la base de la escalera es un cateto, la longitud de la pared desde el piso hasta el contacto entre la escalera y la pared también es llamado cateto.

Hablemos del Teorema de Pitágoras. Este teorema dice que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Los datos que conocemos son los catetos, y lo que necesitamos conocer es la longitud de la escalera que sería la hipotenusa. Sólo tienes que sustituir los valores en la fórmula.

Si tienes un valor elevado al cuadrado y le aplicas raíz cuadrada a ese valor, obtendrás el valor. Siempre que aplicamos una operación a una expresión algebraica, lo debemos hacer en ambos lados de la expresión para mantener el equilibrio de la expresión. Si aplicamos estos conocimientos encontramos el valor de h:

Regresando al ejemplo de la escalera. Si sabemos que la base de la escalera se encuentra a 2 metros de la pared y la pared tiene una altura de 5 metros, encuentra la longitud de la escalera desde la base hasta el contacto con la pared. (Si el resultado es con decimales, escribe sólo las dos primeras cifras).

Ángulos interiores y exteriores

Fíjate en el Teorema de Pitágoras. Los valores de los lados del triángulo están elevados al cuadrado, esto significa que lo podemos relacionar con áreas, de manera que si construimos cuadrados sobre cada uno de los lados del triángulo, obtenemos la siguiente figura.

Observa que el cuadrado que se construyó sobre la hipotenusa es el cuadrado con mayor área. Esto es porque de los 3 lados de un triángulo rectángulo, la hipotenusa siempre es el lado más largo.

Además, el teorema dice que la suma de las áreas de los cuadrados que se construyeron sobre los catetos es igual al área que se construyó sobre la hipotenusa.

Para observar el Teorema de Pitágoras de forma geométrica utilizaremos un ejemplo clásico, en el cual los catetos miden 3 y 4 respectivamente. De manera que analíticamente tenemos lo siguiente:

Pero como estamos midiendo longitud, y una longitud no puede ser negativa, el único resultado es $h=5$. Ahora, trazaremos el triángulo con la medida de los catetos que ya indicamos y trazaremos un cuadrado sobre cada uno de los lados del triángulo. Además, trazaremos cuadrículas de $1cm^2$, para hacer los cálculos.

Como cada uno de los cuadros internos tiene área de $1cm^2$, sólo tenemos que contar el número de cuadritos internos para determinar el área de cada cuadrado.

Por ejemplo:

Tiene un área de 25 unidades cuadradas

Los cuadrados tienen 9, 16 y 25 cuadrados internos respectivamente. Si lo que queríamos era observar si es cierto que la suma de las áreas de los cuadrados sobre los catetos es igual al área del cuadrado sobre la hipotenusa, entonces sumaremos las áreas de los dos cuadrados, de manera que $9+16 = 25$.

Efectivamente, la suma de las áreas de los cuadrados sobre los catetos es igual al área sobre la hipotenusa, y esto se cumple para cualquier figura regular que se trace sobre los lados del triángulo.

Vamos a recapitular: el teorema de Pitágoras nos indica que la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa (o sea, del lado opuesto al ángulo recto):

Esta relación es muy útil para muchísimos problemas de la vida cotidiana. Haz una estrategia mental para recordar la información del recuadro anterior. Asegúrate en este momento que entiendes y vas a recordar durante mucho tiempo (¡toda la vida!) el teorema de Pitágoras.

Semejanza de triángulos

Una maqueta es la reproducción física "a escala", es decir, en tamaño reducido, de algo real o ficticio. La maqueta no solamente puede ser "a escala", sino que también representa la simulación de cualquier cosa en otro material (por ejemplo, la maqueta de un teléfono celular hecho en cartón), sin el acabado ni la apariencia real.

Por ejemplo, la siguiente imagen representa una maqueta de una iglesia:

La maqueta tiene una escala de 1:100, lo que significa que cada uno de los elementos que conforman la iglesia serán 100 veces más grandes en la realidad. Por ejemplo, si la puerta de entrada tendrá $3.3m^2$, la maqueta debe tener una puerta con área igual $0.033m^2$ o $3.3cm^2$.

Un error grave con las áreas a escala, si la escala es de 1:100, las longitudes del objeto real son 100 veces mayores a las del objeto a escala, PERO, las áreas del objeto real son ¡10,000 veces más grandes! Supongamos una puerta de base b y altura a en la maqueta.

Como cada una de esas longitudes es cien veces más grande en el objeto real, su área es $\left(100 a\right)\left(100 b\right) = 10, 000\left(ab\right)$.

Ejercicio

Una empresa constructora compró un terreno para crear un conjunto habitacional, y dentro del proyecto habrá un parque. Con la intención de realizar una exposición del proyecto y vender las casas, construirán una maqueta del complejo habitacional. La escala de la maqueta será 1:150, o sea que cada casa que se encuentre en la maqueta será 150 veces más grande.

En el diseño del parque colocaron la representación de un columpio. De acuerdo a las medidas de la maqueta, ¿cuáles son las medidas del columpio real? (la unidad de medida es en centímetros). Indica las respuestas en centímetros.

En un poblado de Hidalgo hay un río. A un costado del río hay una marca que han puesto unos urbanistas para indicar la distancia que deben considerar las personas que van a acampar, ya que por las noches crece el río y pueden estar en peligro. De acuerdo a la información de los urbanistas, la marca que ellos colocaron está relacionada con el ancho del río. Con esta información podemos hacer unos trazos que nos permitan conocer la distancia del río. Si bien las orillas de río no son exactamente lineales, bien podríamos aproximarnos a la medida del ancho del río (la unidad de medida de las longitudes es el metro).

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales. Fíjate en el ángulo que se encuentra en los vértices A y E. Ambos son perpendiculares a la orilla del río, lo que significa que los dos miden $90°$. En el punto C se forman 4 ángulos. Podemos decir que $DCE = ACB$, porque son ángulos opuestos por el vértice. Si tenemos dos triángulos con dos ángulos iguales significa que el ángulo restante también es igual. Podemos expresar esta información de la siguiente manera:

∟$A + $ ∟$B + $ ∟$C = 180°$

∟$E + $ ∟$D + $ ∟$C = 180°$

La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es 180°. Restamos las ecuaciones anteriores:

∟$A + $ ∟$B + $ ∟$C = 180°$ $\, - \,$ ∟$E + $ ∟$D + $ ∟$C = 180°$

0 + ∟B - ∟C = 0

Sabemos que ∟A = ∟E y que ambos son rectos.

Si ∟$B -$ ∟$D = 0$

Entonces ∟$B =$ ∟$D$

Si los ángulos de dos triángulos son iguales, entonces sus lados correspondientes son proporcionales. Para indicar semejanza utilizaremos el siguiente símbolo ~.

Los lados correspondientes son:

AB ~ DE

BC ~ DC

AC ~ EC

Ejercicio

Con esta información, ayúdanos a conocer el ancho del río, es decir, la longitud de AB.

Autoevaluación

Se desea diseñar una resbaladilla. Las características de la resbaladilla se muestran en la siguiente figura, a la que sólo le faltan algunos datos. Usando la figura encuentra los valores del ángulo α debajo de la escalera, la longitud de la escalera ($y$) y la longitud de la resbaladilla ($x$). Favor de escribir los resultados con 2 decimales.