Introducción

Las funciones reales, son funciones que tienen como dominio y codominio algún subconjunto de números reales, en general las denotamos como $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$.

Existen muchos tipos de funciones reales, además conociendo algunas es posible construir otras nuevas mediante las operaciones con funciones. Mostraremos aquí los tipos usados con más frecuencia.

Funciones Polinomiales

Estas son las funciones reales más conocidas. Se construyen mediante una sucesión finita de operaciones algebraicas (suma, resta, producto, división y potencia) sobre los coeficientes (generalmente números reales) y las variables independientes que le sirven de argumento. Tenemos así, funciones definidas mediante expresiones polinomiales. Incluyen a las funciones lineales (como la función identidad: $f(x)=x$ para todo $x\in \mathbb{R}$), las funciones cuadráticas, las cúbicas, cuárticas y todas las funciones potencia. Son funciones muy apropiadas para modelar situaciones prácticas pues sus gráficas son continuas y suaves.

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$$f(x)=a_nx^{n}+ a_{n-1}x^{n-1}+…+ a_1x+a_0$$

Donde $a_n, a_{n-1},…,a_1,a_0 \in \mathbb{R}$.

Funciones Raíz

Son las funciones inversas de las funciones potencia (en el sentido de que al componerlas se obtiene la función identidad) para las raíces pares el dominio está restringido a los reales no negativos debido a que no existen las raíces pares de números negativos y esto se debe a que las potencias pares de números reales siempre son números no negativos. También se les conoce como funciones radicales.

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Función Valor absoluto

La función valor absoluto, $f(x)=|x|$, se define como:

$$|x| = \begin{cases} -&x & \text{si } & x < 0\\ &0 & \text{si } & x = 0\\ & x & \text{si } & x > 0 \end{cases}$$

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Funciones Piso y Techo

Estas funciones son muy útiles para trabajar con problemas de matemáticas discretas. Se denotan como sigue y sus gráficas son escalonadas.

$$\lfloor x \rfloor= \text{ mayor entero menor o igual a }x$$

Ejemplos:

$\lfloor 1.5 \rfloor=1$, $\lfloor 0.35 \rfloor=0$, $\lfloor \pi \rfloor=3$, $\lfloor -2.3 \rfloor=-3$

(Gráfica de la función piso, los círculos vacíos en los extremos derechos de cada segmento indican que ese valor no se incluye, así por ejemplo $\lfloor 1 \rfloor=1$)

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$$\lceil x \rceil= \text{ menor entero mayor o igual a }x $$

Ejemplos:

$\lceil 1.5 \rceil=2$, $\lceil 0.35 \rceil=1$, $\lceil \pi \rceil=4$, $\lceil -2.3 \rceil=-2$,

Funciones Racionales

Son funciones de la forma $$r(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$$ donde $f$ y $g$ son funciones polinomiales. Podemos suponer que estas funciones no tienen factores comunes. Aunque se construyen a partir de polinomiales, sus gráficas son muy diferentes de ellas. Como caso particular de estas funciones, se tienen las funciones recíprocas.

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Funciones Exponenciales y Logarítmicas

Las funciones exponenciales son aquellas en las que la variable independiente está en el exponente. Se usan para modelar fenómenos de crecimiento o decrecimiento muy acelerado por ejemplo el crecimiento de una población, el incremento de una inversión que gana interés compuesto o el decaimiento radiactivo de una sustancia. Una vez planteado el modelo exponencial, es decir la función, la intención es usarla para para predecir el comportamiento del fenómeno en cualquier tiempo. Una función exponencial está determinada por su base las más usadas son $e$ y 10. Aquí se muestra la gráfica de una familia de funciones exponenciales de distintas bases.

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Y esta es la gráfica de la función exponencial de base $e$ (“la natural”) y su simétrica:

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Para investigar cuándo una población llegará a un número dado, se usan las funciones inversas de la exponenciales llamadas funciones logarítmicas. Observa que los logaritmos están definidos solamente para números positivos. Como la base más usada es la $e$ a este logaritmo se le conoce como logaritmo natural y se denota simplemente como $ln$.

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Funciones Trigonométricas

Estas funciones son la extensión, a todos los números reales, de las razones trigonométricas definidas para triángulos rectángulos. Con la definición de las funciones seno y coseno, se definen las cuatro funciones restantes:

$$tan \: x = \frac{sen x}{cos x}$$

$$cot \: x=\frac{cos x}{sen x}$$

$$sec \: x = \frac{1}{cos x}$$

$$csc \: x=\frac{1}{sen x}$$

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Autoevaluación

Determina el tipo de función al que pertenecen las siguientes