¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales?

Existen situaciones en las que se requiere el planteamiento y resolución simultánea de un grupo de ecuaciones. Si todas las ecuaciones son lineales, es decir cada una de sus incógnitas tiene exponente uno, entonces tenemos un sistema de ecuaciones lineales.

Podría ser que el sistema tuviera una sola incógnita o varias. Frecuentemente se usa la letra $m$ para indicar cuántas ecuaciones hay y la letra $n$ para indicar cuántas incógnitas tiene el sistema. Así, hablamos de un sistema de ecuaciones lineales de $m \times n$ si tenemos una colección de $m$ ecuaciones con $n$ incógnitas entre todas ellas.

Y decimos que forman un sistema si la intención es encontrar una solución simultánea, es decir, un conjunto de valores que satisfaga todas las ecuaciones del sistema. Esta solución podría existir o no.

Así por ejemplo, el siguiente es un sistema de $2 \times 1:$

$$ \left\{\begin{array}{cccccc} 2x & = & 3\\ \frac{2}{3}x & = & 1 \end{array} \right. $$

tiene dos ecuaciones y una sola incógnita: $x.$ No es difícil ver que la solución $x=\frac{3}{2}$ es simultánea, pues satisface las dos ecuaciones. Si un sistema de ecuaciones tiene solución decimos que es un sistema consistente y si no tiene solución se llama inconsistente.

Los sistemas consistentes pueden tener una sola solución o una infinidad de ellas.

El siguiente sistema, también de $2 \times 1$, es inconsistente pues no es posible encontrar un número real que, al sustituirse por $x$ en ambas ecuaciones, haga que las dos igualdades sean ciertas:

$$ \left\{\begin{array}{cccccc} 6x & = & 12\\ -8x & = & 24 \end{array} \right. $$

Este ejemplo es un sistema de $2 \times 2$, dos ecuaciones y dos incógnitas:

$$ \left\{\begin{array}{cccccc} 6x & - &0.4y&= & 12\\ -15x & + &y&= & -30 \end{array} \right. $$

Este sistema es consistente con una infinidad de soluciones, las representamos como un conjunto de parejas $(x,y)$, en la que cada pareja representa una solución simultánea de las dos ecuaciones del sistema.

Observa cómo son las parejas del conjunto. Para cada número real $x$ existe un valor $y$ definido por la expresión $15x-30$. Ambos valores forman una solución que satisface a las dos ecuaciones: $$\{(x, 15x-30)|x \in \mathbb{R}\}$$

Es posible construir un sistema de $m \times n$ para cualesquiera dos números $m$ y $n$ y después buscar soluciones simultáneas. Existen diferentes maneras de resolverlos y las herramientas del álgebra lineal y la teoría de ecuaciones nos permiten hacerlo.

En esta ocasión estudiaremos sistemas de $2 \times 2$ que son los sistemas más estudiados en secundaria y bachillerato y de los más usados en las aplicaciones. Su expresión genérica es la siguiente:

$$ \left\{\begin{array}{cccccc} ax & + & by & = & e\\ cx & + & dy & = & f \end{array} \right. $$

Aquí, $x,y$ son las incógnitas buscadas y $a,b,c,d,e$ y $f$ son números reales.

Entonces, por ejemplo, el siguiente es un sistema de ecuaciones lineales de $2 \times 2:$

$$\left\{\begin{array}{cccccc} x & + & y & = & 0\\ x & - & y & = & 2 \end{array} \right. $$

¿Puedes encontrar un par de valores reales, $x,y$ que satisfagan ambas ecuaciones?

¿Cómo resolver sistemas de ecuaciones?

Los sistemas de ecuaciones lineales pueden resolverse de formas distintas. Para resolver sistemas de $2 \times 2$ existen los siguientes métodos:

• Igualación
• Sustitución
• Suma y resta (o método de reducción)
• Método gráfico
• Regla de Cramer (en el que hay que usar determinantes)

Con los tres primeros métodos el objetivo es eliminar una de las incógnitas para obtener una ecuación de una sola incógnita y resolverla. Por esta razón a esos métodos se les conoce también como métodos de eliminación.

Aquí aprenderás a usar el tercer método, de eliminación por suma y resta, que consta de los siguientes pasos:

• Multiplica una o las dos ecuaciones por un "número conveniente" de manera que los coeficientes de una de las incógnitas sean iguales
• Suma las dos ecuaciones si los coeficientes son de signos contrarios, y restar si son de igual signo. Obtendrás como resultado una ecuación lineal de una sola incógnita
• Resuelve la ecuación que resulta del paso anterior
• Sustituye el valor encontrada en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra incógnita

Veamos el método aplicado al siguiente sistema:

$$ \left\{\begin{array}{cccccccc} x & - &3y&= & 9 && (1)\\ 2x & + &y&= & -10 && (2) \end{array} \right. $$

Queremos que los coeficientes de $x$ sean iguales, entonces multiplicamos por $2$ la ecuación $(1)$ y se tiene:

$$2x - 6y = 18 \qquad (3)$$

Tenemos ahora las siguientes ecuaciones que debemos restar. ¡Cuidado con los signos!

$$ \left\{\begin{array}{cccccccc} 2x & - &6y&= & 18 && (3)\\ 2x & + &y&= & -10 && (2) \end{array} \right. $$

Después de restarlas se obtiene la siguiente ecuación lineal de una incógnita:

$$-7y = 28$$

Resolcviendo esta ecuación, obtenemos:

$y = \frac{28}{-7} = -4$

$y = -4$

Ahora sustituimos el valor de $y$ en cualquiera de las dos ecuaciones originales y despejamos a $x$. En este caso elegimos sustituir en la ecuación $(1)\quad$ $x - 3y = 9:$

$$x - 3(-4) = 9$$

$$\Leftrightarrow x + 12 = 9$$

$$\Leftrightarrow x = -3$$

Así, este es un sistema consitente de solución única: $x = -3; y = -4$

¿Ves que no ha sido difícil?, vayamos a un ejemplo más.

Supongamos que te han aplicado un examen de opción múltiple, las preguntas correctas suman un punto y las incorrectas restan medio punto. En total hay $100$ preguntas y no se admiten respuestas en blanco (hay que contestar todas). La nota que obtuviste es de $80.5$ sobre $100.$ Calcula el número de preguntas que contestaste correcta e incorrectamente.

Primero definamos las incógnitas, sean:

$x:$ número de respuestas correctas

$y:$ número de respuestas incorrectas

Como las suma de las respuestas correctas e incorrectas debe ser el total de las preguntas, entonces $x+y=100$

Ahora, sabemos que por cada respuesta correcta se tiene un punto y por cada incorrecta se resta $0.5$, por lo que esta situación se modela con la ecuación: $1x-0.5y=80.5$

Como $1x=x,$ reescribimos $x-0.5y=80.5$

Tenemos entonces el sistema de ecuaciones siguiente:

$x+y=100 \qquad (1)$

$x-0.5y=80.5 \qquad (2)$

Observa que en este sistema, los coeficientes de $x$ son ambos $1$ por lo que procedamos a restar la ecuación $(2)$ de la $(1)$. Obtenemos la siguiente ecuación lineal de una incógnita:

$$1.5y =19.5$$

Resolviendo esta ecuación, tenemos que $$y=\frac{19.5}{1.5}=13$$

Sustituyendo este valor en la ecuación $(1)$, obtenemos:

$$ x+13=100$$

Y al resolver esta ecuación, $x=87.$

Así, concluimos que se respondieron $87$ preguntas correctamente y $13$ de forma incorrecta.

Hagamos otro ejercicio.

$$ \left\{\begin{array}{cccccccc} -2x & + &3y&= & 6 && (1)\\ 5x & - &4y&= & -8 && (2) \end{array} \right. $$

Haremos que los coeficientes de $y$ sean iguales pero de signos contrarios, para esto, multiplicamos por $4$ la ecuación $(1)$ y por $3$ la ecuación $(2):$

$$4(-2x + 3y = 6)$$

$$\Leftrightarrow -8x + 12y = 24 \qquad (3)$$

$$3(5x - 4y = -8)$$

$$\Leftrightarrow 15x -12y = -24 \qquad (4)$$

Tenemos ahora las ecuaciones $(3)$ y $(4)$ siguientes:

$$ \left\{\begin{array}{cccccccc} 2x & - &6y&= & 18 && (3)\\ 2x & + &y&= & -10 && (2) \end{array} \right. $$

Al sumarlas, se obtiene la siguiente ecuación lineal de una incógnita:

$$7y = 0$$

Y al resolver esta ecuación, obtenemos que $x=0.$ Sustituyendo este valor en alguna de las ecuaciones originales, obtendremos una ecuación lineal en $y.$

Elegimos sustituir en la ecuación $(2),$ $5x - 4y = -8$:

$$5(0) - 4y = -8$$

$$\Leftrightarrow 5(0) – 4y = –8$$

$$\Leftrightarrow – 4y = –8$$

Resolviendo esta última ecuación, se obtiene: $$y=\frac{-8}{-4}=2$$

Tenemos entonces un sistema consistente de solución única: $x=0, y=2.$

Autoevaluación

Te pedimos resuelvas los siguientes ejercicios usando el método de suma y resta. Para cada sistema, elige el sistema transformado correspondiente y su solución.

Respuestas

a) $4x + 6y = 38$,    $4x + y = 23$

b) $15x - 30y = 10$,    $15x + 12y =  3$

c) $20x + 30y = - 15$,    $- 20x - 28y = 8$

d) $3x + y = 7$,    $3x - 5y = 1$

e) $3x + 6y = 9$,    $ 4x + 6y = 8$

1) $x = \frac{9}{2} \quad y = -\frac{7}{2}$

2) $x = 5 \quad y = 3$

3) $x = \frac{1}{3} \quad y = -\frac{1}{6}$

4) $x = 2 \quad y = 1$

5) $x = -1 \quad y = 2$