Introducción

Una de las herramientas matemáticas más poderosas y útiles es el álgebra, las operaciones esenciales como la multiplicación y división con términos algebraicos pueden realizarse con mayor facilidad si hay un buen manejo de las propiedades de los exponentes.

Cuando hablamos de potencia nos referimos a una expresión matemática que consta de dos partes: base y exponente.

Una potencia se escribe de la siguiente forma:

Donde $x$ es la base y $m$ el exponente.

El resultado de una potencia se calcula multiplicando la base por sí misma el número de veces que lo indique el exponente.

Siempre hay que tomar en cuenta los signos, tanto de la base como del exponente para obtener el resultado correcto:

• Cuando la base tiene signo positivo y el exponente es un número par o impar, el resultado de la potencia es positivo.
• Cuando la base tiene signo negativo y el exponente es un número par, el resultado de la potencia es positivo.
• Cuando la base tiene signo negativo y el exponente es un número impar, el resultado de la potencia es negativo.

Ejemplos:

1. $(2)^4$

   $=(2) (2) (2) (2)$

   $=16$

2. $(-4)^4$ =

   (-4)(-4)(-4)(-4) =

   256

3. $(-7)^5$ =

   (-7) (-7) (-7) (-7) (-7) =

   -16807

Ahora es tu turno de resolver:

Las propiedades de los exponentes permiten simplificar y reducir operaciones en la multiplicación y división con potencias:

1 Producto de potencias de la misma base

Da como resultado una potencia con la misma base y la suma de los exponentes: $(x^m)(x^n)=x^{m+n}$

Ejemplos:

1. $(2)^3(2)^5$

   $= 2^{3+5}$

   $=2^8=256$

2. $3m^3m^2m$

   $=3m^{3+2+1}$

   $=3m^6$

3. $(-3)^2(-3)^3(-x)(-x)^3$

   $=(-3)^{2+3}(-x)^{1+3}$

   $=(-3)^5(-x)^4$

   $=-243x^4$

2 División de potencias de la misma base

Da como resultado una potencia con la misma base y la diferencia del exponente del numerador menos el exponente del denominador $\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}$

Ejemplos:

1. $\frac{(-5)^6}{(-5)^4}=(-5)^{6-4}$

   $=(-5)^2=25$

2. $\frac{8x^7}{x^4}=8x^{7-4}=8x^3$
3. $\frac{a^6b^7}{a^5b^3}=a^{6-5}b^{7-3}=ab^4$

3 Potencia con exponente cero

Es el resultado de dividir dos potencias de la misma base, cuyos exponentes son iguales; lo anterior da como resultado la misma base con exponente cero, recordando que cualquier literal o número elevado a la potencia cero da como resultado la unidad.

Esta propiedad es muy importante para la simplificación algebraica.

Considerando que $ m = n:$ $\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}=x^0=1$

Ejemplos:

1. $\frac{3^6}{3^6}=3^{6-6}=3^0=1$

2. $\frac{5a^{12}}{a^{12}}=5a^{12-12}$

   $=5a^0=5(1)=5$

4 Potencia con exponente negativo

Resulta de dividir dos potencias de la misma base, donde el exponente del numerador es menor que el exponente del denominador. El resultado es una fracción.

Ejemplos:

1. $10^{-1}=\frac{1}{10}=0.1$
2. $10^{-2}= \frac{1}{10^{2}}=\frac{1}{100}=0.01$
3. $5^{-3}=\frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}=0.008$

Tomado en consideración lo anterior podemos inferir que una potencia con exponente negativo tiene la siguiente expresión: $x^{-m}=\frac{1}{x^m}$

5 Potencia de potencias

Es cuando tenemos el caso en que una potencia está elevada a otro exponente, de forma que la primera potencia es la base de la otra potencia.

En este caso se multiplican los exponentes: $(x^m)^n=x^{mn}$

Ejemplos:

1. $(3^2)^5=3^{(2)(5)}$

   $=3^{10}=59049$

2. $(a^4)^7=a^{(4)(7)}=a^{28}$

3. $9(m^{-2})^{-5}=9m^{(-2)(-5)}$

   $=9m^{10}$

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