El plano cartesiano y la recta

El plano cartesiano o sistema coordenado cartesiano es una representación gráfica de un sistema de referencia que es útil para representar relaciones matemáticas. Se define mediante el uso de dos rectas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, conocidas como ejes cartesianos: el horizontal es el eje de las abscisas y el vertical es el eje de las ordenadas. En cada eje, se representan geométricamente todos los números reales, haciendo coincidir a cada número con un punto de la recta y a cada punto de la recta con un número real. Tradicionalmente, a los puntos en el eje de las abscisas se les denota por la letra $x$, por lo que también es conocido como eje $x$ y a los puntos del eje de las ordenadas se les denota por la letra $y$ y se le llama eje $y$. Los ejes se cruzan en un punto conocido como origen, pues desde ahí quedan determinados 4 semiejes:

• en el eje $x$, a la derecha del origen se ubica el semieje positivo de las abscisas, que es donde se ubican los reales positivos, es decir $x>0$
• en el eje $x$, a la izquierda del origen se ubica el semieje negativo de las abscisas, que es donde se ubican los reales negativos, es decir $x<0$
• en el eje $y$, hacia arriba del origen se ubica el semieje positivo de las ordenadas, ahí se ubican los reales positivos, es decir $y>0$
• en el eje $y$, hacia abajo del origen se ubica el semieje negativo de las ordenadas, que es donde se ubican los reales negativos, es decir $y<0$

Estos ejes, también determinan cuatro cuadrantes en el plano:

• Primer cuadrante, $I$, es la región superior derecha
• Segundo cuadrante, $II$, es la región superior izquierda
• Tercer cuadrante, $III$, es la región inferior izquierda
• Cuarto cuadrante, $IV$, es la región inferior derecha

A cualquier punto del plano se le identifica mediante una pareja de números reales sus coordenadas cartesianas $$(x,y)$$

La primera coordenada se localiza en el eje de las abscisas y la segunda coordenada en el eje de las ordenadas.

Así, para cada punto en el plano existe una pareja de números reales que lo identifica. Si tenemos el punto $P$ en el plano, trazamos por el dos rectas que pasen por $P$ y sean paralelas a los ejes cartesianos: una horizontal y otra vertical. El punto en el que la recta vertical cruce al eje $x$ será la abscisa de $P$ y el punto en el que la recta horizontal cruce al eje $y$, será la ordenada de $P$. Entonces $P$ tendrá asociada una pareja de números reales $(x,y)$, $x$ es la abscisa y $y$ es la ordenada.

Al revés también es cierto: para cada pareja de números reales, existe un punto en el plano que le corresponde. Para obtener su ubicación en el plano se hace lo siguiente: si tenemos dado el punto de coordenadas $(a,b)$, entonces trazamos dos rectas paralelas a los ejes cartesianos: la vertical que pase por $a$ en el eje $x$ y la horizontal que pase por $b$ en el eje $y$. El punto en donde estas rectas se crucen es precisamente el punto de coordenadas $(a,b).$

EJEMPLOS DE LOCALIZACIÓN

En la siguiente gráfica, puedes observar un ejemplo de localización de puntos en el plano cartesiano.

La recta en el plano cartesiano

Hemos visto cómo se representan los puntos en el plano. Supongamos ahora que tenemos dos puntos $A$ y $B$. Ellos determinan una recta: la que los contiene a ambos.

Cuando hablamos de la recta hay dos parmámetros que la definen: su pendiente y su ordenada al origen.

Observa la gráfica siguiente, la ordenada al origen, es el valor en el que la recta cruza al eje $y,$ en este ejemplo, es 4.

La pendiente de una recta tiene que ver con qué tan inclinada está. Se obtiene como el cociente del cambio en las ordenadas entre el cambio en las abscisas. ¿Cómo obtenemos esos "cambios"? mediante la resta de las coordenadas correspondientes de dos puntos.

Veamos: en la recta de la gráfica, tomemos dos puntos $B(0,4)$ y $C(1,6).$ Calculemos:

Cambio en $y = 6 - 4 = 2$

Cambio en $x = 1 - 0 = 1$

Entonces la pendiente, que se denota con la letra $m$, queda definida como: $$m=\frac{\text{Cambio en }y}{\text{Cambio en }x}= \frac{2}{1}=2$$

Es decir, la pendiente de la recta dada, es 2.

Hay varias formas de definir la ecuación de una recta, aquí usaremos la forma ordinaria, que se expresa mediante estos parámetros que obtuvimos, la pendiente y la ordenada al origen: $$y=mx+b$$

En este ejemplo, la ecuación de la recta dada es $$2x+4$$

Es muy frecuente, denotar el cambio en $x$ como $\Delta x$ y el cambio en $y$ como $\Delta y.$ En general, observa que si $P(x_1,y_1)$ y $Q(x_2,y_2)$ son dos puntos en una recta, entonces se cumple que $$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Veamos unos ejemplos

1) Supongamos que te piden graficar una recta de pendiente $m=-3$ y ordenada al origen $b=2,$ entonces, la ecuación de la recta es $y = -3x + 2$

Para obtener la gráfica, tabulamos unos cuantos puntos:

Entonces, todos estos puntos pertenecen a la recta. Los localizamos en el plano y, al unirlos, obtendremos la gráfica buscada.

Observa que la ordenada al origen corresponde a la ordenada del punto cuya abscisa es $0.$

2) Ahora considera los puntos $A(-3,0)$ y $B(-1,-2)$. Obtengamos la ecuación de la recta que pasa por ellos.

Con esta información primero calculamos la pendiente: $$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-2-0}{-1-(-3)}=\frac{-2}{2}=-1$$

Ahora obtengamos la ordenada al origen.

Ya sabemos que la ecuación de la recta que buscamos es $y=mx+b$, como ya tenemos la pendiente entonces tenemos una primera versión de la ecuación $$y=-1x+b=-x+b$$

Y también sabemos que los puntos $A$ y $B$ satisfacen esta ecuación (pues ambos pertenecen a la recta) entonces, sustituyendo las coordenadas de $A$ en nuestra primera versión, tenemos: $$0=-(-3)+b$$ de donde obtenemos que $b=-3$ y por tanto, la ecuación buscada es $$y=-x-3$$

Comprueba que efectivamente el punto $B$ satisface esta ecuación.

Autoevaluación

Para fortalecer lo aprendido, te invitamos a realizar la siguiente actividad.