¿Te gusta el futbol?

Imagina la siguiente situación.

En el Estadio Olímpico Universitario de la UNAM, se va a realizar el duelo Pumas contra América. Por la rivalidad entre estos dos equipos de la Ciudad de México, se agotan las $60\:000$ localidades.

Hay boletos de $\$70$ en la planta alta y de $\$130$ en la planta baja.

A los trabajadores universitarios les obsequian boletos, lo que representa una pérdida para el patronato equivalente al precio del boleto. Se regalan $10\:000$ boletos: $8\:000$ de la planta alta y $2\:000$ de la planta baja.

Los aficionados que no trabajan en la UNAM pagan su boleto. Del total de la venta, de usan $\$30$ de cada boleto para sufragar diversos gastos, por lo que la ganancia por cada venta, representa $\$30$ menos del precio del boleto. Se venden $30\:000$ boletos de planta alta y $20\:000$ de planta baja.

¿Cuánto ganará el patronato por este partido?

Busquemos una forma de organizar esta información para responder a lo que se pregunta.

Organizando la información

Cuando se proporciona mucha información en un problema, siempre es bueno organizarla para entender mejor lo que requerimos hacer. Una forma de hacerlo, en este caso, es acomodar los datos en una tabla: en una columna los boletos regalados y en otra los vendidos, y los diferentes precios en los renglones.

Observa que ahora es más sencillo revisar la información dada en el planteamiento.

¿Cómo calculamos lo que gana o pierde el patronato universitario? Cuando se hace una venta, para calcular la ganancia obtenida hay que restar las pérdidas y gastos al total de lo vendido.

Tomemos en cuenta que, al tener completamente asignados los $60\:000$ lugares del estadio, $38\:000$ de planta alta y $22\:000$ de planta baja, idealmente se esperaría una ganancia total de $$38\:000(\$70)+22\:000(\$130)=2\:660\:000 + 2\:860\:000= \$5\:520\:000$$

Hay que considerar que por los boletos regalados no se recibe el importe de esas ventas, lo cual significa una pérdida equivalente al precio de esos boletos. Entonces, a lo recibido por la venta total, habrá que restarle esta pérdida.

Además hay que considerar los $\$30$ por boleto vendido que se usan para gastos. Entonces, de cada boleto de $\$70$ en realidad, se ganan $\$70- \$30=\$40$ y de cada boleto de $\$130$ se ganan $\$130- \$30=\$100.$

Calculando las ganancias del partido

Como recordarás, restar equivale a sumar dos números cuando uno de ellos es positivo y el otro negativo. Así, $$a - a = a + \left( -a \right)$$

En el caso del partido entre Pumas y América, sabemos que el importe total de la venta es: $$\$40(30\:000) + \$100(20\:000) = \$1\:200\:000 + \$2\:000\:000= \$3\:200\:000$$

Llamemos $G$ a la ganancia que obtendrá el patronato y consideremos la pérdida por los boletos regalados:

$$G = \$3\:200\:000 + (-\$70)(8\:000) + (-\$130)(2\:000)\\ \qquad = \$3\:200\:000 -(\$560\:000) - (\$260\:000)= \$2\:380\:000$$

¿Te fijaste que hubo que realizar multiplicaciones con enteros con signo?

Tomemos dos de las multiplicaciones y reflexionemos:

• $\$40 \left(30\:000\right) = \$1\:200\:000$
• $-\$70 \left(8\:000\right) = -\$560\:000$

Es claro que la ganancia por cada boleto vendido de la sección de planta baja, $-\$40$ pesos, al multiplicarse por el número de total de boletos vendidos en esa sección, es dinero que incrementa la ganancia. De aquí que decimos que este resultado es positivo.

Por otro lado, al multiplicar los setenta pesos que no se obtuvieron de cada boleto regalado en la misma sección, $-\$70$ pesos, por el total de boletos regalados ahí, se obtiene una cantidad de dinero que representa una pérdida y entonces, interpretamos este resultado como negativo. ¿Estás de acuerdo?

Revísa nuevamente las operaciones realizadas para que pasemos a ver las reglas de los signos en la multiplicación.

Las reglas de los signos

Como puedes notar, estas reglas rescatan lo que hicimos en el problema al calcular las ganancias obtenidas en el partido Pumas vs. América. Cuando ambos números eran positivos -signos iguales- el resultado fue positivo, cuando tuvimos uno positivo y uno negativo -signos distintos- el resultado fue negativo.

Practiquemos con algunos ejemplos:

• $\left( 34 \right)\left( -12 \right)= -408$
• $\left( -15 \right)\left( 23 \right) = -345$
• $\left( 25 \right)\left( 52 \right) = 1300$
• $\left( -123 \right)\left( -20 \right) = 2460$
• $\left( 42 \right)\left( -17 \right) = -714$

¿Y la división de enteros?

Las operaciones de suma, resta y multiplicación de números enteros dan como resultado un número entero. Esta es la propiedad de cerradura, se operan dos enteros y su resultado es nuevamente un entero.

En el caso de la división esta propiedad no se cumple, ya que al dividir dos enteros el resultado noscript siempre es un entero, como podemos ver en los siguientes ejemplos.

• $8 \div 4 = \dfrac{8}{4}=2$
• $3 \div 5 = \dfrac{3}{5}=0.6$
• $1 \div 3 = \dfrac{1}{3}=0.\overline{3}$
• $16 \div 7 = \dfrac{16}{7}=2.\overline{285714}$

El primer ejemplo muestra una división exacta, ahí el resultado sí es un entero. En los demás casos, al dividir, el residuo es distinto de cero por lo que se continúa dividiendo con decimales. La barra sobre los números de los últimos dos ejemplos, significa que esa colección de números se repite infinitamente.

A estos números, se les conoce como números racionales.

Autoevaluación

Resuelve los siguientes ejercicios sobre multiplicación de enteros.