La fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas

La expresión canónica de una ecuación cuadrática -o de segundo grado- es

Resolverla significa encontrar todos aquellos números reales, que cumplen la igualdad cuando sustituyen a $x$ en la ecuación. Cada uno de esos números, se llama solución de la ecuación. También es frecuente llamarles raíces o ceros de la ecuación.

Existen varios métodos para resolver estas ecuaciones, quizá los más conocidos tienen que ver con factorizar la expresión, pero esto no siempre es una tarea sencilla.

Las ecuaciones cuadráticas son conocidas desde la antigüedad y la historia registra varios métodos de resolución. La primera solución completa -es decir que abarca todos los casos de ecuaciones- la desarrolló el matemático persa musulmán Al-Khwarizmi en el siglo IX de nuestra era.

Desde entonces, los estudiosos de las matemáticas han buscado estrategias generales para resolver ecuaciones. La intención, ha sido encontrar una fórmula que describa explícitamente cuáles son todas las soluciones, en términos de los coeficientes de la ecuación. Si hay una colección de ecuaciones para las que existe tal fórmula, se dice que esas ecuaciones son solubles por radicales.

Desafortunadamente, no todas las ecuaciones son solubles por radicales. Fue hasta el siglo XIX, cuando el matemático francés Evariste Galois estableció las condiciones que deben cumplir las ecuaciones que sí lo son.

Las ecuaciones cuadráticas sí son solubles por radicales, por lo que sí existe una fórmula que describe explícitamente todas las soluciones en términos de los coeficientes. Esta es conocida como la la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas. Te la presentamos aquí:

Observa que hay dos posibles soluciones, una por cada signo de la raíz cuadrada, por esto la $x$ aparece con dos subíndices: uno por cada solución.

Relacionemos los coeficientes de la ecuación con los parámetros de la fórmula:

$a$ es el coeficiente de $x^2$, el término cuadrático

$b$ es el coeficiente de $x$, el término lineal

$c$ es el número que no está acompañando a la incógnita, le llamamos término independiente.

Usemos la fórmula

Entonces, para aplicar la fórmula general, necesitamos que la ecuación esté dada en la forma canónica. Si no es así, habrá que "acomodarla" para que lo esté y podamos identificar los coeficientes correspondientes.

De esta manera si tienes la ecuación $2x + 3x^2 = 1$, el valor de los parámetros para esta ecuación es: $a=3, b=2$ y $c=\, –1.$

Entonces, en la forma canónica queda: $3x^2 + 2x -1 = 0$, y aplicando la fórmula,$$x_{1,2} =\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{-2 \pm 4}{6}$$

Por lo que las soluciones de la ecuación son: $$x_1=-1 \qquad x_2=\frac{1}{3}$$

¡Compruébalo!

Recuerda que el lugar geométrico de una ecuación cuadrática es una parábola (revisa las uapas "Las gráficas de las funciones cuadráticas" y "Parábolas"), en la parábola de una ecuación dada, las raíces son los puntos en los que la parábola corta al eje $x$. Si la ecaución tiene dos raíces, significa que lo corta dos veces.

Fuente: Pixabay

Lo que ocurre es que las soluciones no son números reales sino complejos, decimos entonces que esta ecuación NO tiene soluciones reales.

El discriminante nos informa

¿De qué depende que las soluciones de una ecuación sean números complejos? Si observas, esto sucede cuando el número dentro de la raíz cuadrada es negativo. Es decir, cuando el resultado de $b^2- 4ac$ es negativo.

Este número: $b^2- 4ac$ se llama discriminante de la ecuación y nos ayuda a distinguir si las soluciones son números reales o no:

• La ecuación tiene soluciones reales si $b^2- 4ac \geq 0$
• La ecuación no tiene soluciones reales si $b^2- 4ac < 0$

¿Qué sucede cuando el discriminante es igual a cero?

Veamos con un ejemplo qué sucede.

Tomemos la ecuación $x^2 - 6x + 9 = 0$. El valor de los parámetros es: $a=1, b= –6$ y $c=9.$

Al aplicar la fórmula tenemos:

$$x_{1,2} =\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{ -(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(9)} }{ 2(1) } = \frac{ 6 \pm \sqrt{36-36} }{ 2 } = \frac{6 \pm \sqrt{0}}{2} = \frac{6 \pm 0}{2} = \frac{6}{2} = 3 $$

¿Ya viste qué sucede en el ejemplo? Al ser el discriminante igual a cero, la raíz cuadrada es cero, por lo que tenemos solamente una solución.

Hagámoslo con la fórmula general suponiendo que el discriminante $b^2 - 4ac = 0$.

$$x_{1,2} =\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \dfrac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} = \dfrac{-b \pm 0}{2a} = \dfrac{-b}{2a}$$

Entonces, cuando el discriminante de una ecuación es cero, ésta tiene sólo una solución, cuyo valor en términos de sus coeficientes es $$x = \frac{-b}{2a}$$

Gráficamente esto significa que la parábola que representa a la ecuación toca al eje $x$ en un único punto, este punto es el vértice de la parábola.

Para fijar conocimientos hagamos un resumen.

• La forma canónica de las ecuaciones cuadráticas es $ax^2 + bx + c = 0$
• Hay, esencialmente, varios caminos para resolver ecuaciones de segundo grado (uno de ellos es la factorización), la fórmula general sirve para cualquier ecucación, siempre que esté dada en forma canónica.
• Para aplicar la fórmula general, hay que distinguir el valor de los parámetros $a$, $b$ y $c$, -los coeficientes de la ecuación- y sustituirlos en la expresión.
• Una ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$ puede tener dos soluciones reales, una o ninguna. El discriminante $b^2 - 4ac$ es el que nos da esta información.
• Si $b^2 - 4ac > 0$, la ecuación tiene dos soluciones reales que corresponden a las abscisas de los dos puntos donde la parábola $y=ax^2 + bx + c$ corta al eje $x$.
• Si $b^2 - 4ac = 0$, la ecuación tiene una única solución. Corresponde a la abscisa del vértice de la parábola de $y = ax^2+ bx + c$, que es el único punto que toca al eje $x$.
• Si $b^2 - 4ac < 0$, la ecuación no tiene soluciones reales, la parábola $y=ax^2+bx+c$ no toca al eje $x$.

Autoevaluación

Ahora vamos a realizar una pequeña actividad que nos permitirá reforzar nuestros aprendizajes.

Un triángulo rectángulo tiene las siguientes medidas:

Las dimensiones de cada lado están en metros.

Responde las siguientes preguntas. Usa lápiz y papel para realizar tus cálculos.

Usa ^ para indicar exponentes en tus respuestas. Ejemplo: el término $2x^2$ se escribirá así: 2x^2