Las operaciones que siempre realizamos son binarias, es decir, sólo podemos sumar dos números al mismo tiempo. Si queremos sumar más de dos, tenemos que sumar primero dos de ellos, y al resultado sumarle el siguiente número.

El problema anterior, en el que pide la maestra tres formas diferentes de sumar 3, 5 y 8, sirve de ejemplo:

De cualquier manera, se obtiene 16.

Fíjate que, en la suma, sin importar qué sumandos agrupes para sumarlos primero, siempre tendrás el mismo resultado.

A esta propiedad se le llama asociativa de la adición, porque indica cómo asociar los números para poderlos sumar correctamente y que el resultado no se altere.

Pero ¿qué hacer si tenemos la expresión 5 + 6 • 8?

Si sumamos primero 5 + 6 = 11 y luego lo multiplicamos por 8 da como resultado 88.

Pero, si multiplicamos primero 6 por 8 = 48 y a este resultado le sumamos 5, se obtiene 53, que es un resultado diferente al anterior: 88. Entonces, ¿cuál es el resultado correcto?

Para una situación como ésta, existen reglas que indican la jerarquía de las operaciones, y son las siguientes:

Se realizan primero las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.

Después se efectúan las sumas y restas también en ese orden.

Entonces, en la expresión 5 + 6 • 8 la respuesta correcta es 53 porque, de acuerdo a las reglas sobre la jerarquía de las operaciones, se llevan a cabo primero las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha, o sea, primero multiplicamos 6•8 = 48; y después se efectúan las sumas y restas también de izquierda a derecha, y por lo tanto a esta cantidad se le suma 5. Queda así: 48 + 5 = 53. A continuación observa los siguientes ejemplos.

Hay diferentes maneras de expresar la división. Por ejemplo, para expresar seis entre dos podemos usar las siguientes expresiones:

Pones 6 dentro de la casita y el 2 afuera a la izquierda $2|\overline{6}$

Pero en los tres siguientes casos, el 2 que divide está a la derecha, el indicador de división cambia por diagonal ( / ); dos puntos (:) y linea (-)

6/2, 6:2 y $\frac {6}{2}$

Ejemplo:

Simplifica 5 + 6 * 4 - 12 : 4 = 5 + 24 -$\frac{12}{4}$

= 5 + 24 – 3

= 26

Simplifica 10 – $\frac{20}{5}$ * 2 = 10 – 4 * 2

= 10 – 8

= 2

Jerarquía de operaciones con paréntesis

Pueden presentarse casos donde las expresiones ya tienen los paréntesis ( ) que indican el orden en el que se desea realizar las operaciones, u otros tipos de símbolos de agrupamiento o asociatividad, como corchetes [ ] y llaves { }. En estos casos es necesario conocer las reglas para aplicarlas correctamente.

Si existe sólo un tipo de símbolos que denotan la asociatividad, primero se efectúan las operaciones dentro de esos símbolos, siguiendo las reglas ya explicadas (primero multiplicación y división y luego sumas y restas). Después se llevan a cabo las operaciones señaladas.

Ejemplo:

Simplifica: 4 + 8(3 + 6 * 2)

Si existen varios símbolos de asociatividad, uno dentro de otro, primero se realizan las operaciones de los símbolos interiores y luego las de los exteriores.

Ejemplo:

Simplifica 7 + 3 { 8 : [6 – (4 – 2) ] + 5 }

Cuando un signo de multiplicación está junto a un paréntesis, el signo se puede suprimir. Ejemplo:

6•(4 + 8) puede quedar como 6 (4 + 8).

Autoevaluación

Toma lápiz y papel y resuelve lo que se te pide. Escribe el resultado en el espacio en blanco.