Función cuadrática

Es importante que recuerdes que en el Movimiento Uniformemente Acelerado (MUA), la velocidad NO es constante, por lo que se presentan cambios en ella dando paso a la aceleración. Este es un movimiento es más frecuente pues cotidianamente, ya sea en algún vehículo o en tu propio caminar, frenas o aceleras. En el movimiento uniformemente acelerado (MUA), consideramos que los cambios en la velocidad se producen de manera uniforme, es decir, por cada unidad de tiempo se produce el mismo aumento (o disminución) en la velocidad, por lo que la aceleración es constante.

Vinculadas a este tipo de movimiento trabajamos con dos fórmulas básicas de la Física que nos proporcionan la distancia y la velocidad en función del tiempo. Éstas son:

Sus gráficas son una parábola, en el caso de la distancia, y una recta, para la velocidad.

En nuestro caso vamos a analizar la función cuadrática (cuya forma canónica es $y = ax^2 + bx + c$) y sus características. Para iniciar el análisis de este tipo de funciones empezaremos por las más sencillas, cuando $b$ y $c$ son ambos cero, por lo que sólo aparece el término cuadrático reduciéndose de esta manera a la forma $y = ax^2$

Pensemos que nuestra amiga Vicky (todos hemos tenido una amiga Vicky, o ¿no?) va de paseo a Pachuca junto con su familia. Justo va a abandonar la caseta de cobro (momento en que se inicia el conteo del tiempo) y empezaron a circular con una aceleración constante de $4 \, m/s^2$, y que la distancia estaba dada por la función $d = 2t^2$. Los datos correspondientes se dan en la siguiente tabla.

La gráfica que representa este movimiento es:

La razón de que tengamos una curva en vez de una recta como era el caso del MRU, radica precisamente en que la velocidad NO es constante. La gráfica que obtenemos para esta función cuadrática es un segmento de la rama de una parábola, ya que no estamos considerando valores negativos para el tiempo. Si tomáramos en cuenta los valores negativos, ¿cómo quedaría la gráfica?, ¿ya te la imaginaste?

El cambio de y en las funciones cuadráticas

Las funciones, nos permiten modelar situaciones y fenómenos en los que hay dos variables involucradas, una de las cuales (llamémosla $y$) depende de la otra (digamos $x$). Con frecuencia surge la siguiente pregunta, ¿cómo se comportan los cambios en y, cuando consideramos cambios de igual magnitud en $x$? Por ejemplo, es conveniente saber cómo irá cambiando una población cada determinado periodo de tiempo, o en el caso que nos ocupa del movimiento uniformemente acelerado, la pregunta sería ¿qué tanto y qué tan rápido varía la distancia recorrida cada cierto lapso de tiempo? Por ello queremos estudiar las características de la variación de las funciones, en este caso de las cuadráticas.

Antes de trabajar con los valores numéricos de una tabla, veamos primero gráficamente qué sucede con los valores de $Δy$ cuando en una función cuadrática tomamos valores iguales de $Δx$. Observa la siguiente gráfica de la figura A:

Aunque estamos tomando valores iguales de $Δx$, es decir los mismos cambios de $x$, podemos ver que los cambios respectivos en $y$ NO son iguales entre sí. ¿Cómo será el próximo cambio de $y$ si mantenemos $Δx$ igual a los anteriores? ¿Cómo van cambiando los valores de $Δy$?

Seguramente observaste que aunque los valores de $Δx$ sean iguales, los valores de $Δy$ NO lo son, por lo que surge la pregunta: ¿cómo cambian los valores de $Δy$? Es decir, ¿cómo cambian los cambios de $y$? Toma un momento para asegurarte de que entiendes esta pregunta perfectamente. De lo contrario, reflexiona hasta que llegues a una comprensión profunda del concepto “cambio del cambio”.

En la siguiente gráfica, a valores diferentes de $x$, les estamos asociando el segmento con longitud $Δy$ que le correspondía en la gráfica anterior. Como estos segmentos van cambiando de tamaño, podemos ver cuál es la diferencia de uno a otro. A este valor $Δ(Δy)$ lo representaremos por $Δ_2y$ y a veces se le llama “la segunda diferencia” de $y$. Observa la siguiente gráfica:

En ella se visualiza cómo el cambio del cambio de $y$ resulta ahora del mismo tamaño. Es decir, en una función cuadrática, cuando tomamos valores iguales para $Δx$, los valores de $Δy$ son diferentes, pero los de $Δ_2y$ son iguales.

Ahora que ya vimos la representación gráfica de $Δx, Δy$ y $Δ_2y$ de las funciones de segundo grado, pasemos a analizar el comportamiento de la variación cuadrática cuando tenemos una tabla de valores de x y y. En otras palabras, exploremos si existe un procedimiento similar al de las funciones lineales para poder detectar cuándo dos variables tienen variación cuadrática a partir de un conjunto de datos en una tabla de valores.

Cuando se tienen parejas de datos en la variación lineal se puede recurrir a calcular varios valores de $y$ (que nos permite hacer una comparación de la variación que sufre y dependiendo de los cambios que tomemos en $x$) y veíamos que era una constante. Eso equivale a decir, que cuando tomamos valores iguales de $Δx$, obtenemos valores idénticos de $Δy$.

¿Qué sucederá en las cuadráticas? ¿Qué se te ocurre que podemos hacer para investigarlo? Piensa un momento.

Es probable que pienses que podemos tomar valores para una función cuadrática sencilla y analizar cómo se comporta $Δy$ para valores iguales de $Δx$, pues bien, ¡hagámoslo para la función de segundo grado más sencilla (y = x2)! Si tomamos valores consecutivos de x y calculamos los de y mediante la función, tenemos la siguiente tabla:

Los valores de $Δy$ son diferentes, como seguramente lo suponías, porque NO es una función lineal. Sin embargo, parece haber “algo especial” en la forma en que varían. Observa los resultados, ¿encuentras alguna regularidad en la secuencia 1, 3, 5, 7, 9?

¿Cuáles son los tres siguientes valores de $Δy$? 11, 13,15

Este resultado lo obtenemos porque la diferencia entre los valores es 2.

Encontrar una regularidad en la forma en que varían los valores de $Δy$ parece ser una buena pista, ¿no crees? Tómate unos momentos para reflexionar cómo podemos utilizar lo que hemos encontrado para describir lo que caracteriza a la variación de las funciones cuadráticas.

¿Qué te parece si agregamos una columna más a la tabla para calcular ahora cómo van cambiando los valores que obtuvimos de $Δy$? Es decir, vamos a calcular el cambio de los valores: 1, 3, 5, 7, 9. Para sistematizar la regularidad que encontramos con vías de aplicar ese proceso en otros casos, comparemos la forma en que varía $Δy$ con relación al cambio de $x$. En la tercera columna eliminamos las operaciones y sólo escribimos los resultados que habíamos obtenido. En la cuarta, realizamos las operaciones completas.

Como en esta última columna estamos calculando el cambio del cambio de y usaremos el símbolo convenido: $Δ_2y$.

Las segundas diferencias son iguales. Este resultado coincide con lo que habíamos visto gráficamente respecto al cambio del cambio ($Δ_2y$) de una función cuadrática.

¡Vamos a un nuevo desafío!

Tomemos ahora la función cuadrática $y = 2x^2 + 1$. Hemos visto que los valores de Δx deben ser iguales, pero NO tienen que ser igual a uno. Así que veamos qué sucede cuando los valores de $x$ son números pares. ¿Seguirá cumpliéndose que las segundas diferencias (el cambio del cambio) de $y$ son iguales?, ¿Tú que piensas?

Construyamos la tabla y hagamos las operaciones. ¿Tendrás razón en lo que supones?

Encuentra los últimos valores de la tabla correspondiente a $Δy$ y $Δ_2y$ respectivamente, y escríbelos en ese orden en los siguientes espacios: Para calcular $Δy$ sólo tienes que restar 201 - 129 = 72, mientras que para el valor $Δ_2y$ es 72 - 56 = 16

$Δy$ : 72

$Δ_2y$ : 16

Aunque solamente hemos corroborado en dos ejemplos que en la variación cuadrática los valores $∆_2y$ (el cambio del cambio) son iguales cuando tomamos el mismo valor para $∆x$, los matemáticos han demostrado que esto es cierto para toda función de segundo grado. Así, podemos considerarlo como una característica de su variación y utilizarlo para saber si los datos de una tabla de valores de $x$ y $y$ corresponden a una función cuadrática.

Con lo que hemos visto, explora si los datos de la siguiente tabla corresponden a una función cuadrática. Coloca solamente el resultado de la operación en los espacios de la tercera y cuarta columnas, y de acuerdo a lo que obtengas contesta “sí” o “no” consideras que existe variación cuadrática.

¿Existe variación cuadrática de y respecto a x? Seguramente tu respuesta fue SÍ ¿Verdad que es fácil?, tómate unos momentos para reflexionar sobre este nuevo aprendizaje. Te invitamos a realizar el siguiente ejercicio para fortalecer tus conocimientos.

Autoevaluación

De acuerdo con la siguiente función cuadrática $3x^2 + 2 = 0$, te pedimos realices lo siguiente:

1) Construye la tabla

2) ¿Hay variación cuadrática? Justifica tu respuesta

3) Realiza la gráfica $x$ vs $y$, ¿qué forma tiene?

Califica tus resultados de acuerdo a la siguiente rúbrica.

Rúbrica de evaluación. Aquí class

Respuestas. Aquí class