¿Qué son los exponentes fraccionarios?

Si bien el concepto de exponente surge inicialmente para simplificar la escritura de números muy grandes, pronto se tuvo la necesidad de extender ese concepto hacia los enteros negativos, el cero, y posteriormente, las fracciones.

Iniciemos recordando qué es un exponente cuando es un número entero. ¿Recuerdas la definición?

Definición de exponente entero

Si $a$ es un número diferente de cero, y $n$ esun entero positivo,

entonces:

• $a^n$ es el número que se obtiene al multiplicar $a$ por sí mismo $n$ veces
• $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ es decir, es el inverso multiplicativo de $a^n$
• $a^0 = 1$

Los exponentes se fraccionan

De algunas de tus clases de la secundaria seguramente recordarás las raíces cuadradas, que se escriben usando un radical.

Así, hablamos de "la raíz cuadrada de $a$ ", denotada como $\sqrt{a}$, para referirnos al número tal que al elevarse al cuadrado, da como resultado $a,$ es decir: $$(\sqrt{a})^2=a$$ donde $a \in \mathbb{R}, \: a ≥ 0.$

Esta no es la única manera de expresar una raíz cuadrada, también podemos hacerlo usando exponentes fraccionarios. Así, denotamos $$\sqrt{a}=a^\frac{1}{2}$$ La razón de este uso queda clara al aplicar las leyes de los exponentes: $$(\sqrt{a})^2=(a^\frac{1}{2})^2=a^{\left(\frac{1}{2}\right)(2)}=a^1=a$$

Mediante un argumento similar, es posible extender esta notación para todas las raíces, esto es para expresar $$\sqrt[n]{a} \:\: \text{ usaremos } \:\: a^{\frac{1}{n}}$$ Quizá esto sea un poco difícil pero practicando llegará a ser familiar para ti.

Algunos ejemplos de expresiones de radicales y exponentes se muestran en la tabla siguiente:

Observa ahora, la generalización de los radicales y los exponentes correspondientes:

Supongamos ahora que queremos expresar la raíz quinta de $243.$

Si lo escribimos como radical tendríamos $\sqrt[5]{243}$, y si lo escribimos como exponente fraccionario será $(243)^\frac{1}{5}$.

¿Y qué pasa si tenemos fracciones no unitarias?

Hemos visto exponentes fraccionarios en los que el numerador es uno, pero ¿qué pasa en fracciones con numerador distinto de uno? veamos algunos ejemplos:

Observa que mediante las leyes de los exponentes podemos concluir que un radical $$\sqrt[n]{a^x}=(a^x)^{\frac{1}{n}}= a^\frac{x}{n}$$

Algunas aplicaciones de los exponentes fraccionarios

Estas expresiones suelen usarse para simplificar expresiones algebraicas. Veamos un ejemplo:

Simplificar la expresión $\sqrt[3]{a^6}$

Reescribiendo en forma de exponente tenemos:

Y simplificando:

Hagamos uno un poco más laborioso.

Simplificar: $$\frac{10b^2c^2}{c^3 \, \sqrt[3]{8b^4}}$$

Primeramente transformamos los radicales en exponentes:

$$\frac{10b^2c^2}{c^3 \, \sqrt[3]{8b^4}} = \frac{10b^2c^2}{c^3 \, (8b^4)^\frac{1}{3}}$$

Distribuimos los exponentes usando las leyes de los exponentes:

$$\frac{10b^2c^2}{c^3 \, (8b^4)^\frac{1}{3}} = \frac{10b^2c^2}{c^3 \, 8^\frac{1}{3} (b^4)^\frac{1}{3}} = \frac{10b^2c^2}{c^3 \, 8^\frac{1}{3} b^\frac{4}{3}}$$

Sabemos que $8^\frac{1}{3}=(2^3)(\frac{1}{3})=2^{(3)(\frac{1}{3})}=2$, entonces:

$$\frac{10b^2c^2}{c^3 \, 8^\frac{1}{3} b^\frac{4}{3}}= \frac{10 b^2 c^2}{2c^3 b^\frac{4}{3}} = \dfrac{10}{2} \frac{b^2 c^2}{c^3 b^\frac{4}{3}}$$

Nuevamente, aplicando las leyes de los exponentes:

$$\frac{10}{2} \frac{b^2 c^2}{c^3 b^\frac{4}{3}}=5 \, b^{2-\frac{4}{3}} \, c^{2-3} = 5b^\frac{2}{3} \, c^{-1}=\frac{5b^\frac{2}{3}}{c}$$

Así, tenemos:

$$\frac{10b^2c^2}{c^3 \, \sqrt[3]{8b^4}} = \frac{5b^\frac{2}{3}}{c}$$

Esperamos que lo que has aprendido te resulte útil cuando tengas que simplificar expresiones algebraicas.

Autoevaluación

Para fortalecer tu aprendizaje, te invitamos a realizar la siguiente actividad.

Las 10 opciones de la lista siguiente forman parte del procedimiento de simplificación de las expresiones de los ejercicios (1.) y (2.), elige el inciso que corresponda a cada simplificación y coloca en los espacios la letra que corresponda. Recuerda usar las leyes de los exponentes.

a) $\sqrt[n+2]{4^{\frac{n+2}{2}}}$

b) $x^3$

c) $\frac{9}{20}$

d) $(x^{\frac{5}{6} - \frac{5}{12}})^\frac{1}{5}$

e) $2$

f) $\dfrac{3^2}{2^2 5^2}$

g) $\dfrac{x^{5n+9}}{x^{5n+6}}$

h) $\frac{9}{100}$

i) $x^\frac{1}{12}$

j) $\dfrac{1}{\sqrt{16}} + \dfrac{1}{\sqrt{25}}$

1. Simplifica las siguientes expresiones