Parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz. Su representación en el plano geométrico es la siguiente:

La Figura 1, muestra una parábola de ecuación: $$y^{2}=4px$$

Esta parábola tiene vértice en el origen. El vértice es un punto de localizado en el eje de simetríala parábola -llamado también eje focal-, el lado recto es el segmento que pasa por el foco, es perpendicular al eje focal y tiene extremos en la parábola, su longitud es:

$$LLR=|4p|$$

Las parábola puede abrir hacia cualquier lado, eso depende del eje focal y de dónde se localizan el foco y el vértice. Las parábolas con vértice en el origen tienen cuatro posibles ecuaciones:

$y^2=4px$

Abre hacia la derecha

$y^2=-4px$

Abre hacia la izquierda

$x^2=-4py$

Abre hacia abajo

$x^2=4py$

Abre hacia arriba

Cuando el vértice de la parábola está en el punto $V(h,k)$ tenemos los siguientes casos:

$(y-k)^2=4p(x-h)$

Abre hacia la derecha

$(y-k)^2=-4p(x-h)$

Abre hacia la izquierda

$(x-h)^2=-4p(y-k)$

Abre hacia abajo

$(x-h)^2=4p(y-k)$

Abre hacia arriba

Ejemplos

1. Hallar y graficar las coordenadas del foco, vértice, longitud del lado recto y la ecuación de la directriz de la parábola cuya ecuación es: $y^2=-8x$

   La ecuación tiene la forma $y^2=-4px$ podemos obtener el valor de p mediante la comparación de ecuaciones:

   Si $-4p=-8 ⇒p=\frac{-8}{-4}=2$

   Por lo tanto sus elementos son:

   Vértice: $V(0,0)$

   Foco: $F(-2,0)$

   Directriz: $x=2$

   $LLR=|4(2)|=|8|=8$

   

2. Hallar la gráfica y la ecuación de la parábola con vértice en el punto $V(5,-3)$ y foco en $F(5,2)$

   De acuerdo a la ubicación del foco y el vértice, la ecuación correspondiente es: $(x-h)^2=4p(y-k)$

   Se sabe que la distancia del vértice el foco es el valor de $p$; entonces ayudados de la gráfica podemos encontrar los términos $h,k$ y $p$

   Si $V(5,-3)$ y $F(5,2) \Rightarrow h=5, k=-3$ pues $V(h,k)$ y $F(h,k+p) \Rightarrow k+p=2$

   Por lo tanto:

   $$-3+p=2\Rightarrow p=2+3=5$$

   Al hacer las sustituciones correspondientes:

$(x-5)^2=4(5)(y-(-3))$

$(x-5)^2=4(5)(y+3)$

$(x-5)^2=20(y+3)$

$x^2-10x+25=20y+60$

$x^2-10x-20y+25-60=0$

$x^2-10x-20y-35=0$

Autoevaluación

1. Hallar y graficar las coordenadas del vértice, foco, longitud del lado recto y ecuación de la directriz de la parábola $(x+5)^2=-4(y+3)$
2. Hallar los elementos y construir la gráfica de la parábola cuya ecuación es $y^2=28(x-2)$
3. Hallar y graficar la ecuación y los elementos de la parábola con vértice en $V(-\frac{3}{2},1)$ y la ecuación de su directriz es $y-3=0$
4. Hallar los elementos de la parábola cuya ecuación es $x^2-36y=0$
5. Hallar la ecuación y los elementos de la parábola con vértice en el origen de coordenadas, eje focal en el eje de las abscisas y que pasa por el punto $P(5,-10)$

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