Introducción

La elipse es el lugar geométrico del conjunto de puntos P(x,y) cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos equivalen al doble de una constante.

Su representación en el plano geométrico es la siguiente:

E = Eje focal

N = Eje normal

C = Centro

F, F'=Focos

V,V' = Vértices

$\overline{AA'}$ = Lado recto

$\overline{VV'}$ = Eje mayor

$\overline{BB'}$ = Eje menor

Conocimientos previos

1. Cuadrado de un binomio.
2. Teorema de Pitágoras.
3. Plano cartesiano.
4. Elementos analíticos y gráficos de la recta.
5. Distancia entre dos puntos.

Definición

Como la elipse tiene dos focos, hay dos lados rectos y la elipse tiene tres parámetros: a, b y c, apoyándonos en el Teorema de Pitágoras su expresión matemática es: $a^2=b^2+c^2$

A partir de los datos de la Fig 1, se puede deducir la ecuación de la elipse: $\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} =1$

$LLR=\frac{2b^2}{a}$

Excentricidad $e=\frac{c}{a}$

La anterior es la ecuación de la elipse con centro en el origen.

La elipse puede ser vertical u horizontal dependiendo del eje focal y del eje normal:

$\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2}=1$

Elipse horizontal

$\frac{x^2}{b^2} +\frac{y^2}{a^2}=1$

Elipse vertical

Cuando el centro de la elipse está fuera del origen de coordenadas tenemos los siguientes casos:

$\frac{{x-h}^2}{a^2} +\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$

Elipse horizontal

$\frac{{x-h}^2}{b^2} +\frac{(y-k)^2}{a^2}=1$

Elipse vertical

Ejemplo

1. Hallar los elementos y graficar la elipse cuya ecuación es: $\frac{x^2}{9} +\frac{y^2}{4}=1$

La ecuación corresponde a una elipse horizontal, ya que $a^2>b^2$ , por lo tanto:

Si $a^2=9 ⇒a=3$

Si $b^2=4 ⇒b=2$

Si $a^2=b^2+c^2 ⇒c^2=a^2-b^2$

$c^2=9-4=5 ⇒ c=\sqrt{5}$

Por lo tanto sus elementos son:

Centro: C(0,0)

Focos:

F(c,0)=F($\sqrt{5}$,0)

F'(c,0)=F'(-$\sqrt{5}$,0)

Vértices:

V(a,0)=V(3,0)

V'(-a,0)=V'(-3,0)

LLR = $\frac{2b^2}{a}=\frac{2(2)^2}{3}=\frac{2(4)}{3}=\frac{8}{3}$

e= $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$

2. Hallar los elementos y la gráfica de la elipse con centro en el punto C(5,-4) , longitud del eje mayor 8 y la longitud del lado recto igual a 4. El eje focal es paralelo al eje de las abscisas.

Como el eje focal es paralelo al eje de las abscisas, entonces la ecuación es de la forma:

$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$

Se sabe que la longitud del eje mayor es 8, entonces:

2a=8,a=$\frac{8}{2},a=4⇒a^2=16$

Si LLR=4 , entonces:

$\frac{2b^2}{a}=4$

$\frac{2b^2}{4}=4$

$(2b)^2=4(4)$

$(2b)^2=16$

$b^2=\frac{16}{2}⇒ b^2=8$

Calculando c:

$c^2=a^2-b^2$

$c^2=16-8=8⇒c=\sqrt{8}$

e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{8}}{4}$

Como el centro de la elipse es C(5,-4) , entonces la ecuación es:

$\frac{{(x-5)}^2}{16} +\frac{(y+4)^2}{8}=1$

Autoevaluación

Ahora es momento de revisar lo aprendido. Resuelve los siguientes problemas. Una vez que los hayas resuelto corrobora tus respuestas.

1. Hallar los elementos y graficar la elipse cuya ecuación es: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$
2. Hallar los elementos y graficar la elipse cuya ecuación es: $x^2+\frac{y^2}{4}=1$
3. Hallar los elementos y graficar la elipse cuya ecuación es: $y^2=1-\frac{x^2}{81}$
4. Hallar los elementos y graficar la elipse cuya ecuación es: $\frac{(x-2)^2}{9}+\frac{(y-2)^2}{4}=1$
5. Hallar los elementos y graficar la elipse cuya ecuación es: $\frac{(x+3)^2}{9}+\frac{(y-2)^2}{16}=1$

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