Solución de ecuaciones lineales

Medir temperaturas es una actividad útil en muchos ámbitos cuando se requiere controlar el comportamiento o desempeño del clima, de un motor, del cuerpo humano o de los alimentos, por poner algunos ejemplos.

En México, como en muchos otros países, la temperatura se mide en la escala de Celsius $(°C)$ también conocida como centígrada. Sin embargo, existen otras escalas para medir la temperatura como la Fahrenheit $(°F)$ y la Kelvin $(°K).$ Imagina que cuentas un instrumento para medir temperaturas que solamente marca en grados Fahrenheit ¿Cómo podrías hacerle para encontrar la equivalencia, de una lectura dada por este aparato, a centígrados?

Existe una ecuación que nos proporciona la equivalencia.

$$F = \frac{9}{5} C + 32 $$

La letra $F$ representa los grados Fahrenheit y $C$ los Celsius. Supongamos que necesitamos saber a cuánto equivale 1 centígrado. Tendríamos que hacer la sustitución siguiente:

$$F= \frac{9}{5} \left(1\right)+32$$

$$=\frac{9}{5}+32$$

$$= \frac{165}{5}=33.8$$

Por lo tanto 1 grado Celsius es igual a 33.8 grados Fahrenheit. Pero, ¿qué tal si nos encontramos en la situación inversa, es decir, que conocemos cuánto vale una temperatura en $°F$ y queremos saber su equivalencia en $°C$? Para resolver esto necesitamos, despejar los grados Celsius en la ecuación, es decir, despejar la variable $C$.

¿Sabes despejar una variable?

En Matemáticas, el término despejar se aplica a expresiones algebraicas en las que desea que una variable sea dependiente de los valores de las demás variables. Para esto, se elimina todo lo que hay alrededor de ella, para que la variable quede "sola".

Es necesario que recuerdes, de los propiedades de los números reales y sus operaciones, dos elementos importantes:

1. Inverso aditivo. Al sumar un número cualquiera con su inverso aditivo, el resultado es $0.$

   Por ejemplo $5 + \left(-5\right) = 0$. Y si $a$ es un número cualquiera, denotamos a su inverso aditivo como $-a$ por lo que se tiene que $a + (-a) = 0.$ ¿Cuál será el inverso aditivo de $-\frac{1}{3}$?

2. Inverso multiplicativo. Al multiplicar un número distinto de $0$ por su inverso multiplicativo el resultado es $1.$

   Por ejemplo: $5\times\frac{1}{5}=1$. Y si $a$ es un número real distinto de cero, denotamos a su inverso multiplicativo (también llamado recíproco) como $\frac{1}{a}$ por lo que se tiene que $a \times \frac{1}{a}=1$

Una ecuación es como una balanza

Tengamos presente que una ecuación es una identidad, es decir, dos expresiones algebraicas relacionadas mediate un símbolo de igual. Al despejar una variable, se realizan operaciones sobre la ecuación, por lo que habrá que tener cuidado de no alterar la igualdad.

Para que una balanza quede equilibrada, necesitamos colocar la misma cantidad de material en cada lado. De la misma manera, cuando realizamos operaciones en una identidad, cualquier operación en el término a la izquierda del símbolo igual deberá realizarse en el término del lado derecho.

Despejemos $C$

En la que ecuación que transforma centígrados a grados Fahrenheit, al término a la derecha del signo igual, en donde se encuentra $C,$ se está sumando un 32, así que para eliminarlo sumamos su inverso aditivo que es -32, en ambos lados de la ecuación:

$$F= \frac{9}{5} C+32$$

$$\Rightarrow F -32= \frac{9}{5} C+32 - 32$$

$$\Rightarrow F -32= \frac{9}{5} C$$

Ahora, del lado derecho tenemos $\frac{9}{5}C$, por lo que ahora multiplicamos de ambos lados, por el inverso multiplicativo de $\frac{9}{5}$ que es $\frac{5}{9}$:

$$\frac{5}{9}\left(F-32\right) = \frac{5}{9}\left(\frac{9}{5} C\right)=1 C$$

$$\therefore \frac{5}{9}\left(F-32\right) = C$$

Por comodidad escribimos la expresión, intercambiando los términos:

$$C =\frac{5}{9}\left(F-32\right)$$

Esta es la expresión que define a $C.$ Verifiquemos que sea correcta. Antes habíamos encontrado que $1ºC$ era igual a $33.8ºF.$ Utilicemos esta esta información para hacer la comprobación. Comenzaremos sustituyendo el valor de $ºF$ por $33.8.$

$$C =\frac{5}{9}\left(33.8-32\right)$$

$$\Rightarrow C =\frac{5}{9}\left(1.8\right)=1$$

Efectivamente hemos llegado al resultado que esperamos por lo que la expresión es correcta.

En este ejemplo, partimos de una ecuación conocida y, manipulando algebraicamente, obtuvimos tanto la expresión para la variable $F$ como para la variable $C.$ La ecuación que relaciona estas variables es una ecuación lineal, es decir una ecuación en la que el exponente de cualquiera de las incógnitas es $1.$ Por esto es que también se conocen como ecuaciones de primer grado.

La forma general de las ecuaciones de primer grado con una incógnita, es:

$$ax+b=0$$

En esta expresión, la única incógnita es $x$, se entiende que las demás literales representan números reales de valores fijos.

Usando nuevamente las estrategias que aprendiste para despejar, se obtiene que:

$$x=-\frac{b}{a}$$

que es la única solución posible.

Autoevaluación

Con ayuda de una calculadora, encuentra a cuántos $ºF$ equivalen: