Introducción
El dominio de una función es el conjunto de valores en los cuales está definida, es decir, todos aquellos valores que la variable independiente puede tomar. Al dominio de la función $f$ lo denotaremos como $D_f$.
Para las funciones reales -aquellas cuyo dominio y rango son subconjuntos de $\mathbb{R}$- se acostumbra obtener su gráfica en el plano cartesiano: el dominio aparece en el eje de las abscisas y el codominio en el de las ordenadas. Así, para estas funciones, es frecuente denotar a la variable independiente con $x$ y a la dependiente con $y$.
El rango -o imagen- de una función es un subconjunto del codominio, está formado con todos aquellos valores que toma la función, es decir: $$R_f=\{f(x) \mid x \in D_f\}$$
Al observar la gráfica de una función, podemos determinar qué subconjuntos de $\mathbb{R}$ forman su dominio y codominio, identificando qué intervalos “usa” su gráfica en cada uno de los ejes cartesianos.
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Una función racional es una función que puede escribirse como cociente de dos polinomios:
$f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$
Calcular el dominio de una función quiere decir buscar el conjunto de todos los valores posibles de $x$. Notemos que si $f$ es una función racional, estará indefinida para aquellos valores que hagan cero el denominador, pues ahí no esposible obtener el cociente. Así que para obtener el dominio de $f$ hay resolver la ecuación $q(x)=0.$ El dominio estará formado por todos los reales excepto las raíces de $q(x).$
$D_{f} = \mathbb{R}- \{ x \in \mathbb{R} \mid q(x)=0 \}$
Ejemplo:
Determinar dominio y rango de la siguiente función
$f(x) = \frac{x + 2}{x - 3}$
Como el denominador es un polinomio, buscamos sus raíces para encontrar los puntos de indefinición de la función. Entonces resolvemos la ecuación:
$$x - 3 = 0$$
$$\Leftrightarrow x = 3$$
Por lo que el dominio de $f$ será:
$D_f = \mathbb{R} - \{ 3 \}$
También podemos expresar este conjunto usando intervalos:
$D_f = ( -\infty, 3) \cup (3, \infty )$
Concluimos que en el punto $x = 3$ la función no está definida. Geométricamente, esto significa que habrá una asíntota vertical en $x=3$.
Para determinar el rango, hay que despejar $x$ de la ecuación $f(x)=y$, obtener una expresión en la que $x$ sea la variable dependiente y $y$ la independiente y encontrar los valores en los que la expresión está definida:
$$f(x)=y$$
$$\Leftrightarrow \frac{x + 2}{x - 3}=y$$
$$\Leftrightarrow x + 2 = y(x - 3)$$
$$\Leftrightarrow x + 2 = xy - 3y$$
$$\Leftrightarrow x - xy = -3y - 2$$
$$\Leftrightarrow x(1 - y) = -(3y + 2)$$
$$\Leftrightarrow x = \frac{-(3y + 2)}{1-y}=\frac{3y + 2}{y-1}$$
Como puedes observar, ahora $x$ está definida en términos de $y$ (ha pasado a ser variable independiente). Para determinar todos los posibles valores de $y$, de nuevo buscamos el conjunto de todos los valores en los que es posible obtener el cociente. Este es el conjunto de todos los reales salvo aquellos en los que el denominador es cero:
$$y - 1 = 0 \quad \Leftrightarrow y = 1$$
Entonces $Ran_f=\mathbb{R} - \{ 1 \}$.
$$R_f = \mathbb{R} − \{1\} = (−\infty,1) \cup (1,\infty)$$
Geométricamente, esto significa que habrá una asíntota horizontal en $y = 1$, es decir, la función se acerca a este valor pero nunca lo alcanza.
Comprobamos con la gráfica de la función:
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