Discriminante $I = B^2 - 4AC$
Introducción
La ecuación que representa algebraicamente cualquier curva de las cónicas es:
$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$
También se le conoce como ecuación general de las cónicas. El término Bxy sólo aparece en las ecuaciones de las cónicas cuyos ejes de simetría tienen un ángulo de rotación con respecto a los ejes cartesianos; estas ecuaciones por el momento quedan fuera de nuestro objetivo de estudio. Tomando en cuenta el punto anterior podemos establecer:
- La ecuación representa una cónica siempre que sea una ecuación de segundo grado con dos variables.
- Si la ecuación carece del término xy, entonces sus ejes de simetría son paralelos a los ejes del sistema de coordenadas cartesianas.
Conocimientos previos
- Ecuación y elementos de la recta.
- Ecuación y elementos de la circunferencia.
- Ecuación y elementos de la parábola.
- Ecuación y elementos de la elipse.
- Ecuación y elementos de la hipérbola.
Definición
Es posible demostrar que el discriminante $I = B^2 - 4AC$ es válido para cualquiera de las formas de una ecuación de segundo grado con dos incógnitas, excepto para la circunferencia, ya que ésta nunca contiene el término xy, puesto que su diámetro siempre estará paralelo a los ejes coordenados.
El discriminante se usa para determinar el tipo de cónica a la que pertenece la ecuación, tenga o no ángulo de rotación.
Los criterios del discriminante se basan en los coeficientes de la ecuación general de las cónicas haciendo las siguientes consideraciones:
- Si $I < 0 $, la ecuación es una elipse.
- Si $I = 0 $, la ecuación es una parábola.
- Si $I > 0 $, la ecuación es una hipérbola.
Ejemplo:
Determinar con el discriminante el tipo de cónica de cada una de las siguientes ecuaciones, comprobar la respuesta con la gráfica correspondiente:
$x^2 + 2xy + y^2 + 16x - 4y -2 = 0$
Los coeficientes son:
$A = 1$
$B = 2$
$C = 1$
Sustituyendo en la ecuación del discriminante:
$I = B^2 - 4AC$
$I = (2)^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0$
Como $I = 0$ la ecuación es una parábola:
