Definición de función

Una función modela la relación de dependencia que existe entre dos o más cantidades. En casi todo fenómeno físico se observan estas dependencias. Por ejemplo, al modelar la caída de una piedra desde un precipicio podrías observar que la posición de la piedra, es decir la distancia, $d$, que ha descendido, depende del tiempo, $t$, que lleva cayendo.

Observa el siguiente video para que aprendas más sobre este importante concepto de las matemáticas.

Evaluación de una función

Evaluar una función $f$ en un número dado, significa sustituir la variable independiente por el valor de tal número. Por ejemplo:

Si $f(x)=x^{2}+1$ entonces $f(2)=(2)^{2}+1=4+1=5$

Si $g(x)=3x^{2}-x+6$ obtengamos la evaluación de $g$ en $0,-2,3$ y $\frac{1}{2}$:

$g(0)=3(0)^{2}-(0)+6=6$

$g(-2)$ = $3(-2)^{2}$ - $(-2)+6$ = $12+2+6$ = $20$

$g(3)$ = $3(3)^{2}$-$(3)+6$= $27-3+6$ = $30$

$g\left(\frac{1}{2}\right)$= $3\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$-$\left(\frac{1}{2}\right)+6$ = $\frac{3}{4}-\frac{1}{2}+6$ = $6\frac{1}{4}$

Autoevaluación

Realiza los siguientes ejercicios y al finalizar presiona el boton para comparar tus respuestas.

Expresa las reglas siguientes en notación de función:
a) A un número cualquiera sumarle 5 y luego multiplicarlo por 2
b) A un número cualquiera restarle 8 y luego elevar al cuadrado
c) A un número cualquiera elevarlo al cuadrado y luego restarle 8
d) A un número cualquiera sacarle raíz cuadrada, sumarle 9 y luego multiplicar por $\frac{1}{3}$
Revisar
a) $2(x+5)$
b) $(x-8)^{2}$
c) $x^{2}-8$
d) $\frac{1}{3}(\sqrt{x}+9)$
Expresa la regla de cada función con palabras:
a) $f(x)=x^{2}+2$
b) $g(x)=\frac{x-5}{3}$
c) $h(x)=\frac{x}{3}-5$
d) $j(x)=\sqrt{x+2}$
Revisar
a) Un número cualquiera elevarlo al cuadrado y luego sumarle 2
b) un número cualquiera restarle 5 y luego dividirlo entre 3
c) A un número cualquiera dividirlo entre 3 y luego restarle 5
d) A un número cualquiera sumarle 2 y luego sacarle raíz cuadrada
Evalúa la función en los números dados:
a) $f(x)=x^{2}+2x;$ $f(0)$, $f(3)$, $f(-2)$, $f(a)$, $f(-x)$
b) $g(x)=\frac{1-x}{1+x};$ $g(0)$, $g(2)$, $g(-\frac{1}{2})$, $g(a)$, $g(a-1)$
c) $h(t)=t+\frac{1}{t};$ $h(1)$, $h(-1)$, $h(\frac{1}{2})$, $h(a)$, $h(\frac{1}{a})$
d) $j(x)=2|x-1|;$ $j(0)$, $j(-2)$, $j(\frac{1}{2})$, $j(x+1)$, $j(x^{2}+2)$
Revisar
a)
$f(0)=(0)^{2}+2(0)=0\; $
$f(3)=(3)^{2}+2(3)=9+6=15\;$
$f(-2)=(-2)^{2}+2(-2)=4-4=0$
$f(a)=a^{2}+2a\;$
$ f(-x)=(-x)^{2}+2(-x)=x^{2}-2x$
b)
$g(0)=\frac{1-0}{1+0}=\frac{1}{1}=1\;$
$g(2)=\frac{1-2}{1+2}=\frac{-1}{3}$
$g(-\frac{1}{2})=\frac{1-(-\frac{1}{2})}{1+(-\frac{1}{2})}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}=3$
$g(a)=\frac{1-a}{1+a}\;$
$g(a-1)=\frac{1-(a-1)}{1+(a-1)}=\frac{2+a}{a}$
c)
$h(1)=1+\frac{1}{1}=2;\;$
$h(-1)=-1+\frac{1}{-1}=-2;\;$
$h(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}+\frac{1}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2};$
$h(a)=a+\frac{1}{a};\;$
$h(\frac{1}{a})=\frac{1}{a}+\frac{1}{\frac{1}{a}}=\frac{1}{a}+a$
d)
$j(0)=2|0-1|=2|-1|=2\;$
$j(-2)=2|-2-1|=2|-3|=6\;$
$j(\frac{1}{2})=2|\frac{1}{2}-1|=2|-\frac{1}{2}|=1$
$j(x+1)=2|x+1-1|=2|x|\;$
$j(x^{2}+2)=2|(x^{2}+2)-1|=2|x^{2}+1|$