Factorización de polinomios cuadráticos
Factorizar es una estrategia muy útil para resolver algunas ecuaciones cuadráticas pues sabemos que un polinomio como este $$x^2+(p+q)x+pq$$ se fatoriza fácilmente en dos polinomios lineales: $$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$$ entonces, las soluciones de la ecuación $x^2+(p+q)x+pq=0$ serán $-p$ y $-q.$
Si los tres coeficientes tienen un factor común $a$, al dividir la ecuación entre $a$, se obtiene una expresión más sencilla.
Por ejemplo, si tenemos la ecuación $2x^2-10x+12=0$. Los coeficientes de los tres términos son pares, por lo que podemos dividirla entre 2, convirtiéndola en $$x^2-5x+6=0$$ En esta ecuación tenemos un polinomio como el descrito en el primer párrafo, por lo que: $$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$ y ahora obtener las soluciones de la ecuación original es muy sencillo: $x_1=2$ y $x_2=3.$ Comprueba que en efecto lo son.
Sin embargo, también hay ecuaciones como esta $2x^2+5x-3=0$ en las que los coeficientes no tienen ningún factor común. ¿Qué pasa si la dividimos entre el coeficiente del término cuadrático? tendríamos:
$$\frac{2x^2}{2}+\frac{5x}{2}-\frac{3}{2}=0$$
$$\Leftrightarrow x^2+\frac{5x}{2}-\frac{3}{2}=0$$
Para factorizar el polinomio obtenido de la misma manera que en el primer ejemplo, debemos encontrar dos números cuya suma sea cierta fracción y cuyo producto sea otra. Observa que como los números que buscamos pueden ser enteros o fracciones, las opciones posibles aumentan.
En este caso, la factorización sería:
$$x^2+\frac{5x}{2} -\frac{3}{2} = (x+3)(x-\frac{1}{2})$$
Por lo que las soluciones de la ecuación original son: $x_1=-3$ y $x_2=\frac{1}{2}$
¡Compruébalo!
Uso del cambio de variable
Hay otro camino para poder hacer estas factorizaciones mediante un pequeño “truco” para evitar los coeficientes fraccionarios. El método consiste en transformar una ecuación de este tipo, en otra auxiliar que tenga coeficientes enteros y donde el coeficiente del término cuadrático sea 1. Explicaremos este procedimiento mediante un ejemplo:
Resolvamos la siguiente ecuación: $6x^2-7x+2=0$. Observa que los tres coeficientes no tienen ningún factor común y que si dividiéramos la ecuación entre $6$ obtendríamos coeficientes fraccionarios. Procederemos de otra forma:
- Multipliquemos la ecuación por $6:$ $$36x^2-7(6x)+12=0$$
- Si hacemos $z=6x$ entonces la ecuación se transforma en $$z^2-7z+12=0$$
- Factorizando el polinomio cuadrático de esta nueva ecuación: $$z^2-7z+12=(z-3)(z-4)$$
- Recuperamos $x$, escribiendo $6x$ en lugar de $z$ y obtenemos, $(6x-3)(6x-4)$ por lo que concluimos que la ecuación original puede factorizarse como: $$36x^2-7(6x)+12=(6x-3)(6x-4)$$
- Entonces, resolver la ecuación original, se traduce en resolver esta: $$(6x-3)(6x-4)=0$$ que involucra la resolución de dos ecuaciones lineales.
Resolvamos cada ecuación lineal:
| $6x-3=0$ | y | $6x-4=0$ |
| $x_1=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ | $x_2=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ |
Este es un procedimiento de cambio de variable que hemos usado para factorizar ese tipo de ecuaciones.