Razones trigonométricas para triángulos semejantes

Una forma de vincular los ángulos agudos de un triángulo rectángulo con la longitud de sus lados, es comparar mediante razones.

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Razones trigonométricas para triángulos semejantes

Recordarás que los griegos, en su afán de establecer relaciones entre las diversas figuras geométricas, encontraron una forma de vincular los ángulos agudos de un triángulo rectángulo con la longitud de sus lados, al comparar mediante razones (cociente de dos números) dos de ellos.

Triángulo rectángulo

Un triángulo se dice que es rectángulo cuando uno de sus ángulos es recto (mide 90°) y por lo tanto, los otros dos son agudos. Los dos lados que forman al ángulo recto se llaman catetos y el que se opone a él se denomina hipotenusa.

Observa el triángulo de la siguiente figura.

Cuando nos fijamos particularmente en uno de los ángulos agudos, por ejemplo α (alfa), podemos ver que lo forman uno de los catetos (al que llamaremos adyacente) y la hipotenusa. Al otro, que está frente a α, lo llamaremos cateto opuesto.

Ahora, vamos a construir razones entre las longitudes de dos de los lados del triángulo asociadas con el ángulo α (alpha). Por ejemplo:

A estas dos razones los griegos les llamaron, respectivamente, tangente y cotangente de α (tan α  y cot α ). Si observas, aunque tomamos los mismos lados para calcular r1 y r2 , los resultados son distintos, ya que, por ejemplo, no es lo mismo 3/2 que 2/3 .

Otras funciones son:

Observemos que sucede con los triángulos semejantes.

Triángulo semejante

Dos triángulos se dicen semejantes cuando tienen los mismos ángulos y sus lados homólogos son proporcionales. Es decir, son triángulos que tienen exactamente la misma forma aunque de diferente tamaño.

Tomemos ahora a A’B’C’, un triángulo semejante a ABC. Observa la figura.

Por ejemplo calculamos una razón trigonométrica para el triángulo ABC

Recuerda que simplificar fracciones significa: hacer la fracción lo más simple posible. Por ejemplo 12/24 = 1/2 quiere decir que si dividimos entre doce logramos obtener la expresión mínima.

Autoevaluación

Ahora, calcula tú las seis razones trigonométricas para el ángulo α utilizando los datos del triángulo pequeño A’B’C’. Simplifica los resultados y colócalos en el espacio correspondiente.

  1. sen α = /
  2. cos α = /
  3. tan α = /
  1. csc α = /
  2. sec α = /
  3. cot α = /

De acuerdo a los resultados obtenidos, puedes darte cuenta, al igual que lo hicieron los griegos, que las razones trigonométricas sólo dependen del ángulo considerado y NO interviene la longitud de los lados del triángulo.