Razón de cambio

Saber si una función va creciendo (subiendo) o decreciendo es muy importante en economía, ya que eso te permitirá tomar decisiones.

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Razón de cambio

Dada una función f(x), la razón de cambio o tasa de cambio promedio de f(x) con respecto a x es la proporción con que cambian los valores de f(x) respecto de un cambio en x.
Esta tasa de cambio promedio se mide en un intervalo determinado por dos puntos en los que la función está definida.

Veamos un ejemplo, si se tiene la función:

Tomemos algunos valores de x, en la siguiente tabla mostramos los valores resultantes de f(x):

Puntos
x
f(x)
D -3 9
E -2 4
  -1 1
A 0 0
B 1 1
C 2 4
  3 9

Vamos a analizar su razón de cambio, es decir en qué proporción cambia f(x) con respecto a un cambio en x.

Si observas los valores de la columna x, van aumentando de 1 en 1, pero los valores de f(x) tienen cambios muy dispares, por ejemplo, de 9 a 4 hay una disminución de 5, de 4 a 1 hay una disminución de 3; por otro lado de 0 a 1 hay un aumento de 1 y de 4 a 9 hay un aumento de 5, como puedes observar en la siguiente imagen.

¿Cómo calcular la razón de cambio de una función?

Consideremos dos puntos en la gráfica de f. Llamamos Δf al cambio de los valores de f(x) en esos puntos y llamamos Δx al cambio en las x. La razón de cambio se define como:

Que nos indica cuál es la proporción del cambio en f(x) con respecto al cambio en x.

Hagamos un ejemplo: si tomamos una pareja de puntos de la tabla, digamos A y B.

El cambio en x será: Δx = xB - xA = 1- 0

Y el cambio en f(x):

Por otro lado,
Δf =

Entonces, la razón de cambio es:

Lo cual indica que por cada unidad de avance en x, habrá una unidad de avance en f(x), es decir, la tasa promedio de cambio (o razón de cambio) de f en el intervalo [0,1] es de 1. Geométricamente este valor coincide con el de la pendiente de la recta que pasa por los puntos (A, f(A)) y (B, f(B)).

Como la razón de cambio es positiva, la función es creciente es decir, va aumentando entre los dos puntos dados por lo que vemos que su gráfica va subiendo si se recorre de izquierda a derecha.

Ahora verás la representación gráfica. En las siguientes gráficas puedes comparar cómo es el aumento de A a B, y cómo es el aumento de B a C, respectivamente:

Razón de cambio negativa

Por otro lado, consideramos ahora los puntos D y E de la tabla:

Calculando los cambios en x y en f(x) se obtiene:

Observa que hemos aplicado las leyes de los signos al hacer este cálculo.

Y la razón de cambio es:

Observa con atención los valores de Δx y Δf.

En este caso la razón de cambio dio negativa lo que indica que del punto D al punto E la función es decreciente es decir, va disminuyendo entre los puntos dados, por lo que vemos que su gráfica va bajando (de izquierda a derecha).

Resumen:

¿Cómo se calcula la razón de cambio entre 2 puntos?

Se calcula el incremento en x: Δx, es decir, la diferencia de las x de dos puntos dados. Después se obtiene el incremento de f: Δf, la diferencia de los valores de f en los dos puntos y se hace la división de Δf entre Δx.

¿Qué significa que la razón de cambio sea positiva?

Que la gráfica de la función va subiendo entre los dos puntos si se recorre de izquierda a derecha.

¿Qué significa que la razón de cambio sea negativa?

Que la gráfica de la función va bajando entre los dos puntos si se recorre de izquierda a derecha.

¿Qué significa que la razón de cambio sea cero?

Que en promedio, la función no cambió en el intervalo determinado por los puntos dados.

La razón de cambio en la Economía

Saber si una función va creciendo o decreciendo es muy importante en economía, ya que eso te permitirá tomar decisiones. Imagina que estás produciendo determinado número de dulces al día y que decides aumentar tu producción. Si conoces la función de costos y la razón de cambio de tu nivel de producción al siguiente nivel, podrás ver si tus costos aumentan o disminuyen y si este aumento o disminución es mucho o poco. Eso te permitiría tomar mejores decisiones para que tu empresa obtenga mejores ganancias.

Autoevaluación

X F(x) Puntos
-3 21 A
-2 11 B
-1 5 C
0 3 D
1 5 E
2 11 F
3 21 G

Ahora es tu turno, si la , tiene la siguiente gráfica y tabla de valores:

Demuestra lo que conoces de Razón de cambio. Relaciona las columnas arrastrando el círculo al espacio de la respuesta correcta, (puedes utilizar más de una vez las respuestas propuestas).

1
Sube
-11
-6
2
11
No cambia
-3
3
-2
-1
6
Baja

1. ¿Cuál es el valor de Δx entre el punto D y E? .

2. ¿Cuál es el valor Δf entre el punto D y E? .

3. ¿Cuánto vale la razón de cambio entre D y E? .

4. A partir del resultado de la razón de cambio entre D y E, puedes deducir que la función de D a E .

5. ¿Cuál es el valor de Δx entre el punto B y C? .

6. ¿Cuál es el valor Δf entre el punto B y C?.

7. ¿Cuánto vale la razón de cambio entre B y C? .

8. A partir del resultado de la razón de cambio entre B y C puedes deducir que la función de B a C .

9. ¿Cuánto vale la razón de cambio entre E y F? .