El objetivo de una empresa es tomar las decisiones necesarias para maximizar sus ganancias y minimizar sus costos para lograr ser rentable. Este es un problema de optimización. Frecuentemente los procesos productivos y los resultados monetarios de las empresas pueden modelarse mediante el uso de funciones reales por lo que los problemas de optimización empresarial se convierten en problemas de optimización de funciones reales. Entonces, se trata de encontrar aquellos puntos en los que una función real alcanza un valor máximo o mínimo, tales puntos se conocen como puntos críticos de la función y se obtienen usando su derivada.

Por ejemplo veamos la gráfica de la siguiente función:

Antes de llegar al punto $A,$ que se alcanza cuando $x=-2,$ y después de pasar el punto $B,$ $x=1,$ la función es creciente por lo tanto la derivada será positiva.

Entre los puntos $A$ y $B$ la función es decreciente por lo que su derivada será negativa.

¿Qué tienen en común los puntos $A$ y $B$?

Reflexiona, antes de $A$ la derivada es positiva, después de $A$ la derivada es negativa entonces, ¿cómo es la derivada exactamente en el punto $A$? Con $B$ ocurre que antes de llegar al punto la derivada es negativa y después de $B$ la derivada es positiva ¿cómo es la derivada en el punto $B$?

Localización de puntos críticos

Los puntos críticos de una función real, $f$, tienen la característica de que en ellos la derivada es cero. Entonces para encontrarlos primero debemos obtener la derivada, $f',$ igualarla a cero y resolver la ecuación $f'(x)=0$, es decir, encontrar los valores de $x$ que satisfacen la igualdad.

Hagamos un ejemplo

Obtengamos los puntos críticos de la función $f (x) = x^3 - 3x^2 - 9x.$

$1)$ Empezamos obteniendo la derivada de $f$:

$$f ' (x)= 3x^2 -6x -9$$

$2)$ Igualamos a cero la derivada:

$$f ' (x)=0 \Leftrightarrow 3x^2 -6x -9=0$$

La ecuación $f'(x)=0$ es de segundo grado y se puede resolver por varios métodos. Usaremos la fórmula general para encontrar sus soluciones:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

En este caso:

$$x_{1,2}=\frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4(3)(-9)}}{2(3)}=$$ $$=\frac{6\pm\sqrt{36+108}}{6}=\frac{6\pm6\sqrt{1+3}}{6}=1\pm 2$$

Así, las dos soluciones de la ecuación son $x_1=3$ y $x_2=-1$. Estos son los puntos críticos de $f.$

$3)$ ¿Cómo distinguimos cuál es el máximo y cuál el mínimo?

Observando la gráfica podemos distinguirlos pero ¿y si no tenemos la gráfica?

Como vimos, $x_2 < x_1$.

Localicemos estos puntos en el eje de las abscisas y notemos que $x_1$ y $x_2$ dividen a la recta real en tres regiones:

• La región formada por los puntos menores que $x_2$
• La región formada por los puntos $x$ tales que $x_2 < x < x_1$
• La región formada por los puntos mayores que $x_1$

Ahora elijamos un punto en cada una de las regiones que se formaron: un número menor que -1, digamos -2. Ya que podemos elegir un número cualquiera, elijamos los más sencillos: enteros cercanos a los puntos críticos. Ahora hay que elegir un número en la segunda región es decir, entre -1 y 3, elijamos el 0; finalmente, elegimos un número mayor que 3, por ejemplo 4.

Completemos la siguiente tabla:

Ahora obtengamos la derivada en los puntos elegidos:

$$f'(-2) = 3 (-2)^2 -6 (-2) -9 = 12 + 12 -9 = 15$$ $$f'(0) = 3 (0)^2 -6 (0) -9 = 0 -0 -9 = -9$$ $$f'(4) = 3 (4)^2 -6 (4) -9 = 48 -24 -9 = 15$$

Así, obtenemos la siguiente tabla completa:

	Antes de $x_1$	Primer punto crítico $x_1$	Entre $x_1$ y $x_2$	Segundo punto crítico $x_2$	Después de $x_2$
Valor de $x$	$-2$	$-1$	$0$	$3$	$4$
Valor de $f'(x)$	$15$	$0$	$-9$	$0$	$15$

Entonces podemos ver que la función antes del primer punto crítico es creciente pues la derivada es positiva, llega a $x_2$ -donde la derivada es cero- y se vuelve decreciente -la derivada es negativa- hasta el segundo punto crítico en que nuevamente vale cero. Finalmente, vuelve a ser creciente ya que la derivada es positiva.

Así, concluimos que como antes del primer punto crítico sube y después de él baja, $x_2$ es un máximo.

Análogamente, antes del segundo punto crítico baja y después de él sube, por lo tanto $x_1$ es un mínimo.

Es interesante cómo podemos saber todo el comportamiento de la función a partir de su derivada.

Si la función solo tuviera un punto crítico en la tabla habría tres columnas, la del punto crítico, un punto antes de él y otro después. Observa que ordenar los puntos críticos de menor a mayor es importantísimo porque lo que estamos haciendo es revisar los valores de la función de izquierda a derecha.

Regla

• Si $x$ es un punto crítico, y la derivada de $f$ pasa de positiva en valores anteriores a $x$ a negativa en valores posteriores a $x$ entonces $x$ es un máximo.
• Si $x$ es un punto crítico, y la derivada de $f$ pasa de negativa en valores anteriores a $x$ a positiva en valores posteriores a $x$ entonces $x$ es un mínimo.

Autoevaluación

Demuestra lo que conoces de máximos y mínimos. Arrastra la afirmación que corresponde al enunciado.