El concepto de límite es fundamental en el cálculo diferencial y una herramienta poderosa para la economía. Lo introduciremos mediante el siguiente ejemplo. Supongamos que se tiene la función:

$$f(x)= \frac{x^{2}-4}{x-2}$$

Evaluemos en $x=-3$,

$$f(-3)= \frac{(-3)^{2}-4}{-3-2}=\frac{9-4}{-5}$$ $$\qquad=\frac{5}{-5}=-1$$

Observa que: al elevar $-3$ al cuadrado y queda $9$ ya que menos por menos es más. Ahora evaluemos en $x = -2$

$$f(-2)= \frac{(-2)^{2}-4}{-2-2}=\frac{4-4}{-4}$$ $$\qquad=\frac{0}{-4}=0$$

Recuerda que: cuando divides $0$ entre un número diferente de $0$, el resultado es $0$. Evaluemos en algunos valores más completando la tabla.

$x$	$f (x)$
$-3$	$-1$
$-2$	$0$
$-1$	$1$
$0$	$2$
$1$	$3$
$2$	¿?

¿Qué pasa en $x = 2$?

$$f(2)= \frac{(2)^{2}-4}{2-2}=\frac{4-4}{0}$$ $$\qquad=\frac{0}{0}$$

Resulta que la división entre $0$ no está definida, así que cuando $x = 2$ decimos que la función no está definida ahí o que está indefinida en $x=2$.

Si observas con atención, verás que $x=2$ es el único punto en el que esta función está indefinida, entonces para seguir analizándola observemos su comportamiento en otros valores reales, no enteros, pero cercanos a $x = 2$.

Eligiendo arbitrariamente algunos puntos antes del $2$, como el $1.25, 1.5$ y $1.75$, y después del $2$, como $2.25$ y $2.5$ evaluamos y registramos en una nueva tabla.

$$f(1.25)= \frac{(1.25)^{2}-4}{1.25-2}=\frac{-2.4375}{-0.75}=3.25$$ $$f(1.5)= \frac{(1.5)^{2}-4}{1.5-2}=\frac{-1.75}{-0.5}=3.5$$ $$f(1.75)= \frac{(1.75)^{2}-4}{1.75-2}=\frac{-0.9375}{-0.25}=3.75$$ $$f(2.25)= \frac{(2.25)^{2}-4}{2.25-2}=\frac{1.0625}{0.25}=4.25$$ $$f(2.5)= \frac{(2.5)^{2}-4}{2.5-2}=\frac{2.25}{0.5}=4.5$$

$x$	$f (x)$
$1.25$	$3.25$
$1.5$	$3.5$
$1.75$	$3.75$
$2$	indefinido
$2.25$	$4.25$
$2.5$	$4.5$

¿Observas algún patrón de comportamiento?

Ahora con valores aún más pequeños, acercándonos a $2$ por ambos lados: a la izquierda de $2$ (valores menores que $2$).

$x$	$f (x)$
$1.5$	$3.5$
$1.75$	$3.75$
$1.9$	$3.9$
$1.99$	$3.99$
$1.999$	$3.999$
2	indefinido

Y a la derecha de $2$ (valores mayores que $2$).

$x$	$f (x)$
$2$	indefinido
$2.001$	$4.001$
$2.01$	$4.01$
$2.1$	$4.1$
$2.25$	$4.25$
$2.5$	$4.5$

Concluimos entonces que mientras $x$ se aproxima a $2$, $f(x)$ se aproxima a $4$ por ambos lados.

Después de haber observado el comportamiento de $f$ ¿puedes responder qué es un límite?

El límite de una función cuando $x$ se aproxima a cierto valor fijo $x_0$, es el valor al cual se acercan los valores de la función.

La forma de expresar en símbolos el límite anterior es la siguiente:

$$lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-4}{x-2}=4$$

Que se lee: el límite cuando $x$ tiende a $2$ de la función $\frac{x^{2}-4}{x-2}$ es $4$.

Diremos que el límite existe siempre y cuando sea el mismo valor al que se aproxima la función por ambos lados.

El límite es útil para conocer qué pasa en una función si nos vamos acercando a cierto valor de $x$, independientemente de si está o no definida para este valor. En nuestro ejemplo, la función no está definida para $x = 2$, aunque podría ocurrir que la función sí estuviera definida en el valor en el que se está calculando el límite.

¿Cómo se ve la gráfica de $f(x)$?

Efectivamente la gráfica en $x = 2$, se va aproximando por ambos lados a $f(x) = 4$.

Existen muchos métodos para calcular límites, uno de ellos es utilizando factorización. Este mismo ejemplo, podemos calcularlo de la siguiente manera:

Como $(x – 2)$ es un factor común en el numerador y divisor que definen a $f$ podemos cancelarlo y obtenemos que la función es casi igual a la función $g(x)=x+2$, pues tienen la misma regla de correspondencia para todos los elementos de su dominio salvo en $x=2$ (donde omo vimos, $f$ está indefinida). Así, si evaluamos $g(2)=4$ y de aquí podemos inferir que $$lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-4}{x-2}=4$$ que es lo que habíamos obtenido antes.

Autoevaluación

Demuestra lo que conoces de límites calculando los siguientes:

Límite	Aproximación por la izquierda	Aproximación por la derecha	Límite