Las Matemáticas no sólo son una herramienta de la Economía, sino que además forman parte de la misma. Antonio Pulido señala que “poco puede hacerse en Economía sin un planteamiento matemático: ni una teoría económica integradora, ni una economía aplicada”.

En Economía necesitamos explicar el comportamiento de algunos factores económicos aplicando el lenguaje matemático. Para ello, recurrimos al uso de gráficas, tablas, esquemas y funciones. La función, por ejemplo, es la relación entre dos o más variables. Podemos expresar una función algebraicamente utilizando variables, que pueden ser independientes, es decir, que pueden asumir cualquier valor o dependientes cuyo valor corresponde a la aplicación de la función en una variable independiente (o varias).

Analicemos un ejemplo, es el caso de una fábrica de comida para gato:

En el año 2002, un fabricante de comida para gato compró, por $8000 dólares, una máquina que realiza el proceso de etiquetado de latas. La máquina sufre un desgaste natural por el uso. Los técnicos calculan que el desgaste anual de la máquina cuesta el 6% de su costo original. En el año 2012, los dueños de la fábrica venden la máquina y su precio lo estiman de acuerdo al costo original de la máquina, menos la depreciación por el desgaste natural en 10 años. Vamos a calcular el precio que asignaron los dueños de la fábrica a esta máquina.

Año	Cantidad depreciada	Costo al final del año
$2002$		$8,000$
$2003$	$480$	$7,520$
$2004$	$480$	$7,040$
...	...	...
$2011$	$480$	$3,680$
$2012$	$480$	$3,200$

El precio al final de los 10 años es de 3,200 dólares.
Utilizaremos los datos de la tabla para construir una gráfica.

Observa que el comportamiento de los datos tiene las características de una recta, es decir, una función lineal ¿cómo podemos escribirla como una función? Antes de esto, observa el eje $x$, donde está representada la cantidad de tiempo que ha transcurrido, es decir, los años que han pasado desde que se compró la máquina, por eso no están como en la tabla. Hemos cambiado 2002, 2003, 2004,…, 2011 por 0,1,2,…,10 para indicar la cantidad de años transcurridos a partir de la compra.

Función lineal

Una función lineal está definida como $f(x)=mx+b,$  donde $m$ es la pendiente y $b$ la ordenada al origen, o sea el punto en el que la recta -la gráfica de $f$- cruza el eje de las ordenadas. Pero ¿cómo calculamos la pendiente? Piensa en el contorno del escalón de una escalera, la pendiente es la relación entre el alto y el ancho del escalón.

Cómo encontrar la ordenada al origen

Ahora nos falta encontrar el valor de $b$, la ordenada al origen que, según sabemos, es el valor en donde la recta cruza el eje $y.$ Para encontrarlo hacemos lo siguiente: primero denotemos $f(x)=y,$ y como por otro lado, tenemos que $f(x)=mx+b,$ entonces, $$y=mx+b$$

despejando el valor de $b:$

$$b= y-mx$$

Si $(x,y)$ es un punto en la recta, sustituyendo los valores de $x$ y $y$ con las coordenadas de uno de los puntos que conocemos, podemos obtener el valor de $b.$ Usaremos $(0,8000)$ y sustituimos en la ecuación. ¡No se te olvide que la pendiente es negativa! Entonces:

$$b=8000-(-480(0)) \quad \Rightarrow b=8000$$

Ya tenemos $m$ y $b,$ por lo que ahora reescribimos la función:

$$f(x) = mx + b\quad \Rightarrow f(x) = -480x + 8000$$

Si la graficamos obtendremos lo siguiente:

Tenemos la gráfica y la función que representa el desgaste de una máquina. Pero aún no hemos terminado. Con ayuda de la función ya no hay necesidad de escribir la tabla y seguir haciendo tantos cálculos. Usando la función, podemos encontrar todos los valores que queremos con mucho ahorro de tiempo y trabajo. Para el caso de los 10 años, habíamos dicho que la máquina depreciaría su valor hasta $3200 dólares. Veamos cómo se hace:

Sabemos que $x$ es la cantidad de años transcurridos, así que $x=10.$

$$f(x) = -480x + 8000$$ $$\Rightarrow f(10) = -480(10) + 8000= 3200$$

Efectivamente, el resultado es correcto y además fue mucho más rápido encontrarlo utilizando la función.

Apliquemos el conocimiento de función al ejemplo de depreciación

Debemos considerar que cualquier máquina sufre una depreciación natural, por uso, desgaste, porque se vuelven obsoletas, por descompostura, por muchas razones. En nuestro problema inicial se habla de un desgaste que es calculado con un porcentaje sobre su costo inicial. Es decir, por cada año que pasa, la máquina pierde valor, hasta que llega un momento en que la máquina pierde por completo su valor. Por ejemplo, la persona que compre la máquina 20 años después, en realidad está perdiendo, porque en ese momento la máquina se ha depreciado completamente y su valor será negativo (lo que significaría por ejemplo, que costaría más mantenerla en funcionamiento que desecharla).

Esto tiene que ver con el concepto de dominio y rango.

El dominio nos indicará los valores de $x$ para los que la función es válida. Si en el eje de las abscisas representamos la cantidad en años que transcurren después de comprar la máquina, nos preguntamos ¿tiene sentido considerar una $x$ negativa? La respuesta es que no tiene sentido, porque antes de la compra de la máquina, ésta no tenía uso, y por lo tanto no había desgaste.

Por otro lado, cuando la función que describe el valor de la máquina toma valores negativos, la máquina ya perdió su valor de uso y valor económico. Es por eso que podemos pensar que la máquina ya sirvió lo que podía servir. ¡Hay que cambiar de máquina! Entonces debemos buscar en qué momento el valor económico es cero, porque a partir de este punto el resultado se vuelve negativo.

La forma de encontrarlo es haciendo $f(x)=0$

$$f(x) = -480x + 8000$$ $$\Rightarrow 0 = -480x + 8000$$

Debemos despejar $x$ en esta expresión: $$480x = 8000$$

Justamente después de 16 años y unos meses, la máquina ha perdido su valor, veamos esto gráficamente.

Cómo se grafica la función

Si el dominio de la función son todos los valores de x para los que la función tiene sentido, y como estamos hablando de la cantidad de años que tiene valor económico una máquina, hemos llegado a la conclusión de que tiene valor desde el momento en que se compra y comienza a usarse, hasta que la depreciación hace perder el costo original, o sea, entre 16 y 17 años. El dominio lo representamos como un intervalo de números reales.

El dominio de $f(x)=-480x+8000$ para este problema, es  $[0,16.6]$ como se observa en la gráfica.

Rango de la función

Sólo nos queda hablar del rango, que se determina de acuerdo a los valores que tiene la variable dependiente. En este caso, el valor de uso es la variable dependiente, porque su valor se estima de acuerdo a la cantidad de años que transcurran. Para encontrarlo, debemos fijarnos en dos cosas: en el dominio y en el eje de las ordenadas. El dominio nos dará los valores donde se puede evaluar la función y el eje de las ordenadas los valores que resultan de la aplicación de la función en ese dominio. Así que si observas la gráfica, verás que la recta toma un valor máximo de 8000 y un valor mínimo de 0, en el dominio que encontramos. Por lo tanto el rango es $[0,8000]$.

En resumen, escribiremos las características de una función lineal:

• La función es de la forma $f(x)=mx+b.$ Si $m$ es positiva, la recta es creciente, y si es negativa, entonces es decreciente como en el ejemplo que $m=-480$ es negativa, y por lo tanto la gráfica es decreciente.
• La pendiente se calcula utilizando la fórmula:
• Su dominio está en función de la variable independiente; en este caso $x$ o la variable que se encuentre en el eje de las abscisas.
• Su rango se obtiene observando los valores que se obtienen en el eje de las ordenadas al aplicar la función en su dominio.
• Si $x= 0,$ obtenemos la ordenada al origen $b$ es decir, el punto de intersección de la recta con el eje de las ordenadas.
• Si $y= 0,$ obtenemos el punto de intersección de la recta con el eje de las abscisas, es decir, donde $f(x)=0.$

Autoevaluación

Es momento de repasar lo aprendido

Demuestra lo que conoces de las funciones lineales en un caso de depreciación. Resuelve el siguiente problema y al final compara tus respuestas.

Problema: En 2014 se compra un escritorio de $3,200 pesos, por desgaste natural se deprecia el 3% de su costo original, si se requiere vender el escritorio en 10 años

¿Cuál sería su precio?

1. Costo original: $
2. Desgaste anual:
3. Costo del desgaste anual: $
4. Costo del escritorio en el año 2024: $
5. ¿Cuál es la función lineal que representa la depreciación del escritorio?
6. ¿Cuál es la ordenada al origen?
7. ¿A los cuántos años el escritorio ya perdió su valor? Aproxima hasta dos decimales)
doneVerificar