Función senoidal, amplitud y longitud de onda.

En Física, la amplitud mide la variación de una magnitud física que cambia periódicamente en el tiempo.

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Función senoidal, amplitud y longitud de onda

La función seno

La función seno, $f(x)=sen\:x$ es una función definida para todos los números reales y sus imágenes son también números reales. Su gráfica es una curva llamada senoide o sinusoide que se repite en cada intervalo de longitud $2\pi.$ Matemáticamente, esto significa que $$sen\:(x+n2\pi)=sen\:x$$ con $n$ un número entero, decimos entonces que esta es una función periódica de periodo $2\pi.$

Es decir,

$$sen\:x = sen\:(x+ 2\pi)=$$ $$sen\:(x- 2\pi)= sen\:(x+ 4\pi)=$$ $$sen\:(x-6\pi)=sen\:(x+8\pi)=...$$

Notemos que como la función repite los valores que toma en cada periodo, significa que su rango o imagen no es todo el conjunto de reales sino solamente un subconjunto. Como puedes observar en la gráfica la imagen de $f$ es el intervalo $[-1,1]$ pues todos los valores que la función toma, están ahí. Este conjunto se distingue claramente en el eje $y.$

La función seno es muy usada en Física pues con ella se modelan un sin número de fenómenos, los fenómenos físicos periódicos. Estos fenómenos se modelan matemáticamente usando funciones senoidales -que son transformaciones de la función seno- porque cambian periódicamente con el tiempo. Ejemplo de ellos son los movimientos ondulatorios o las señales electromagnéticas.

Entonces dependiendo del fenómeno a modelar se construye la función que lo describe. Tenemos así, una familia infinita de funciones senoidales (o sinusoidales), cada una de ellas definida mediante una colección de cuatro valores reales $a, b, c$ y $d,$ sus parámetros.

La familia de funciones senoidales queda descrita mediante la siguiente expresión general: $$f_{abcd}(x)= a\:sen\:(bx+c) + d$$ Donde, los valores de los cuatro parámetros están dados por las condiciones específicas del fenómeno a modelar. Observa que para la función $f(x)=sen\:x$ se tiene que $a=b=1$ y $c=d=0.$

Amplitud

La distancia entre un valor máximo de la función y el eje $x$ es la amplitud de $f$. Mientras que la longitud de onda es la distancia existente entre dos valores máximos consecutivos en la gráfica de la función. Así, amplitud y longitud de onda son siempre valores positivos. Observando la gráfica de la función $f(x)=sen\:x$ puedes comprobar que la amplitud es $1,$ mientras que la longitud de onda es $2\pi.$

En Física, la amplitud mide la variación de una magnitud física que cambia periódicamente en el tiempo. En la definición que dimos de la familia infinita de funciones senoidales, $f_{abcd},$ la amplitud está representada por el parámetro $a.$

Considera por ejemplo la función senoidal $f(x)=2sen\:x.$ Aquí, se tiene que $a=2$, es decir tiene una amplitud de $2$ unidades.

Como la amplitud se refiere a una distancia, se considerar el valor absoluto de ese número, ya que en ocasiones es negativo. Así, con mayor propiedad decimos que el valor de la amplitud es $|A|=|2|=2.$ ¿Cuál crees que sería la amplitud de la función $g(x)=-2sen\:x$?

Usa Geogebra para revisar la gráfica de esta función. Después observa lo que pasa si cambias la amplitud. Prueba también con números que no sean enteros: $a=-15,\frac{3}{2}, \sqrt{2},...$

Autoevaluación

¡Vamos a practicar un poco!

1. Considera la función $f(x)=\frac{5}{2}sen (\frac{4}{5}x+2)$ determina su amplitud

2. Observa la siguiente gráfica y determina la amplitud de la función dada

3. Observa la siguiente gráfica y determina la amplitud de la función dada

4. Sea $f(x)=-3.5sen(\pi x+2)$ determina su amplitud

5. Sea $f(x)=\frac{-1}{8}sen(\frac{3}{2} x+2)$ determina su amplitud

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