Una población biológica es un conjunto de organismos de la misma especie, coexistiendo en un mismo espacio y tiempo, que comparten características biológicas que les permiten interactuar entre ellos y reproducirse. La biología de poblaciones analiza los atributos biológicos de los individuos de una población, sus interacciones entre ellos y con el medio en que se desarrollan; es decir, estudia a las poblaciones desde el punto de vista biológico. Entre otras cosas, se observa el crecimiento y desarrollo de la población en su conjunto, intentando predecir su futuro a corto y mediano plazo. Para ello se recurre al uso de las funciones exponenciales.
Una función exponencial se define como:
$$f(x)=ka^{rx}$$donde: $a\neq 0$ es la base, $k$ es el valor inicial y corresponde a $f(0)$ y $r$ es la razón o tasa de crecimiento.
Las funciones exponenciales se usan, entre otras cosas, para modelar crecimiento de poblaciones biológicas. En este caso es común que la variable independiente se denote como $t$ en lugar de $x$ pues representa el tiempo y al valor inicial se le llama $P_0$, en lugar de $k$, $P$ de población y el subíndice $0$ para indicar que es el tamaño de la población correspondiente al momento $t=0$ o sea al iniciar la observación. Así, la expresión que indicamos, se reescribiría como:
$$f(t)=P_0a^{rt}$$La tasa de crecimiento, es decir el parámetro $r,$ determina la velocidad con la que crece (o decrece, si $r$ es negativo) una población, indica el ritmo con el que crece.
Observa que, en efecto $f(0) = P_0$. Analicemos un ejemplo:
Luis y sus compañeros pasaron al laboratorio a ver un cultivo de bacterias que lleva 24 horas de iniciado. Les informaron que la población de ese tipo de bacterias se incrementa en un 25% cada hora. Recién habían hecho el conteo y la población tenía un estimado de $21,176$ individuos. La profesora les pidió calcular el tamaño de la población inicial de bacterias. ¿Cómo deben aplicar sus conocimientos sobre funciones exponenciales?
Hemos llamado $P_0$ al número inicial de bacterias, es decir $f(0)=P_0,$ de la misma manera, llamaremos $P_1=f(1),$ a las que había después de una hora, $P_2=f(2),$ a la cantidad de bacterias después de dos horas, y así sucesivamente $P_t=f(t)$ a la cantidad de bacterias que hay después de $t$ horas. Como cada hora se incrementa la población en un $25\%$ sabemos que cada término es el anterior más $0.25$ de ese valor. Con esto en mente podemos establecer las siguientes relaciones:
$$P_0 \text { población inicial }$$ $$P_1=P_0+0.25P_0=P_0(1.25)$$ $$P_2=P_1+0.25P_1=P_1(1.25)=P_0(1.25)(1.25)=P_0(1.25)^{2}$$ $$P_3=P_2(1.25)=P_0(1.25)^{2}(1.25)=P_0(1.25)^{3}$$en general,
$$P_t=P_0(1.25)^{t}$$Así, la base que estamos buscando es $a=1.25$ y la función queda definida como $f(t)=P_0 (1.25)^{t}$. Observa que aquí la tasa de crecimiento $r$, es $1$ esto es porque cada hora solamente "se crea" una nueva generación.
Nos falta, tanto para tener totalmente definida la función como para encontrar el dato que le han pedido a Luis, determinar el tamaño de la población inicial, es decir, el valor de $P_0$. ¿Qué se te ocurre hacer para hallarlo? ¿De qué manera puedes utilizar el dato de que había $21,176$ bacterias en el cultivo 24 horas después?
Necesitamos una ecuación cuya incógnita sea $P_0,$ y si utilizamos el dato de la población después de 24 horas sabemos:
$$f(24)=P_0(1.25)^{24}=21176$$ $$\Rightarrow P_0=\frac{21176}{(1.25)^{24}}=\frac{21176}{211.758}=100.0009$$Así, podemos concluir que la población inicial de bacterias era de 100 individuos. Y la función asociada al crecimiento de este cultivo es $$f(t)=100(1.25)^{t}$$
