La función exponencial natural $f$ se define mediante

$$f(x)=e^{x}$$

Para todo número real $x$

Recuerda que :

Cuando depositas dinero en un banco o solicitas un crédito, se usa interés compuesto, es decir, los intereses vuelven a causar intereses de manera que la cantidad, ya sea a favor o en contra nuestra, crece exponencialmente.

Supongamos que haces una inversión a plazo fijo durante varios años y tu banco te da una tasa de interés anual,
$i$, del $8\%$ (es decir $i =0.08$) capitalizable anualmente. Simbolicemos por $P_0$ a la cantidad inicial que invertiste. ¿Cuánto te dará el banco al término del primer año de inversión?

Al final del primer año, te deben agregar los intereses que generó tu dinero, por lo que la cantidad inicial para el segundo año ya no son $P_0$ sino esa cantidad más su ocho por ciento $P_0 + P_0(0.08)$, es decir, $P_0(1+0.08)=P_0(1.08).$ ¿Y cuánto te dará el banco al término de dos años? Dijimos que la cantidad inicial para el segundo año es $P_0(1.08)$, al final del segundo año, esta cantidad ha generado ocho por ciento de intereses, por lo que se tendrá $$P_0(1.08)+(P_0(1.08))(0.08)=P_0(1.08)(1+0.08)=$$ $$=P_0(1.08)(1.08)=P_0(1.08)^{2}$$ Es decir, al final del segundo año se tendrá $P_0(1.08)^{2} $ ¿y después de tres años? ¿o de 5? ¿o de 15? En la siguiente tabla, veremos cómo calcular el capital final que tendrías, año con año, si decidieras no retirar tu dinero.

Entonces, al término de cualquier año, podemos calcular nuestro capital final, $P_f$ por medio de la función $$P_f(n)=P_0(1.08)^{n}$$ que es una función exponencial pero cuya base es $1.08$. De esta manera, si inviertes, por ejemplo $\$10,000$ pesos y no los retiras, al final del primer y quinto año tendrías respectivamente:

$$P_f(1)=10\:000 (1.08)^{1}=10\:000(1.08)=\$10,800$$ $$P_f(5)=10\:000 (1.08)^{5}=10\:000(1.46932)=\$14,693.20$$

Sin embargo, aunque la tasa sea anual, el banco constantemente recibe ganancias con tu dinero y el de todos los inversionistas ya que, en cualquier momento, puede hacer préstamos que le generarán ganancias. Así que lo justo es que te reinvierta los intereses con mayor regularidad, ¿no crees? ¿Cómo debe hacerse? Aquí es donde aparece el famoso número $e$.

Sigamos con la misma  tasa de interés anual del $8\%$ y supongamos de nuevo que tu inversión inicial fue de $\$10,000$. Ahora, fijémonos solamente en el primer año. Si los intereses el banco te los capitalizara (es decir los agregara a tu cuenta) semestralmente, te correspondería un interés de $i =\frac{0.08}{2}=0.04$ cada semestre. ¿Cierto? ¿Tendrás, al final del primer año, los mismos $\$10,800$ pesos que habías obtenido? Analicemos la situación.

Al final del primer semestre tienes: 

$$P_f=10\:000+ 10\:000 (0.04) = 10\:000 (1 + 0.04) =10\:000 (1.04)=\$10,400$$

Al final del año tienes: 

$$P_f=10\:400+ 10\:400 (0.04) = 10\:400 (1.04)=\$10,816$$

Es decir, ¡te corresponden $16$ pesos más!

Otra manera de calcular el capital al final del año, cuando la tasa anual fue capitalizable semestralmente es: 

$$P_f=10\:000(1.04)^{2}= 10\:000 (1.0816)=\$10,816$$

¿Y qué sucede si la tasa anual del $8\%$ fuera capitalizable cada tres meses? Entonces, cada trimestre se incorpora a tu cuenta la cuarta parte del interés anual $i =\frac{0.08}{4}=0.02$

¿Cuántos pesos más debe de darte el banco si los intereses se capitalizan cada mes?, ¿cada día?, ¿cada hora?, ¿cada minuto?, ¿cada segundo?, ¿cada instante? Es decir, ¿cuántos pesos más te corresponden si los intereses se capitalizan continuamente?

Para responder a las preguntas anteriores, sin tener que hacer el cálculo periodo por periodo (si fuera mensual, habría que hacerlo 12 veces; si fuera diario, 365 veces), optemos por analizar la manera en que hemos obtenido la cantidad total al final del primer año en los dos ejemplos previos. Recuerda que, en ellos, el dinero invertido se capitalizaba semestral y trimestralmente y teníamos:

Semestralmente, dos periodos al año:

$$P_f=10\:000\left(\frac{1.08}{2}\right)^{2}$$

Trimestralmente, cuatro periodos al año:

$$P_f=10\:000\left(\frac{1.08}{4}\right)^{4}$$

Podemos notar que en ambos caso usamos expresiones muy similares, salvo que, según el caso, hay que modificar lo siguiente:

• La tasa de interés correspondiente a cada periodo de tiempo en el que se capitalizarán las ganancias. Esta se obtiene dividiendo la tasa anual entre el número de periodos considerados. Si llamamos $p$ al número de periodos entonces la tasa de interés de cada periodo es: $i =\frac{0.08}{p}$

• El exponente al que debemos elevar el número: $1 + \frac{0.08}{p}$. Como la capitalización de intereses se hará $p$  veces en el año, en cada una de ellas multiplicamos a $1 + \frac{0.08}{p}$ por sí mismo, así, el exponente coincide con el número de periodos de capitalización.

Entonces, la fórmula que proporciona la cantidad de dinero que corresponde al final del año, cuando consideramos $p$ periodos para capitalizar los intereses es: $$P_f=10\:000\left(1+\frac{0.08}{p}\right)^{p}$$

¿Calculamos cuánto es el monto si la tasa anual del $8\%$ se capitaliza diariamente? ¿Cuántos días tiene el año? ¡Claro! $365$. Por ello $p=365$. Si sustituimos en la fórmula queda:

$$P_f=10\:000\left(\frac{1.08}{365}\right)^{365}$$ $$\quad =10\:000(1.000219)^{365}$$ $$\quad =10\:000(1.083207)=\$10,832.07$$

¿Qué tanto dinero más corresponderá si se capitaliza cada hora? bastará con sustituir $p=(365)(24)=8760$ en la fórmula. Con lo que el capital final será:

$$P_f=10\:000\left(\frac{1.08}{8760}\right)^{8760}$$ $$\quad =10\:000(1.00000913242)^{8760}$$ $$\quad =10\:000(1.08328667)=\$10,832.87$$

Sólo se obtuvieron 80 centavos más que cuando se capitalizaron los intereses diariamente. Por ello, si lo calculamos cada minuto o cada segundo, es muy probable que casi permanezca la misma cantidad. Y si lo hacemos cada décima de segundo y cada milésima de segundo, la cantidad que corresponde al término del primer año, prácticamente no se modificará, o sólo lo hará por décimas  o centésimas de centavos.

Así, si pensamos en periodos de tiempo pequeñísimos, la capitalización de los intereses se hará casi instántaneamente. Podemos decir que se capitalizarían en todo instante, es decir continuamente y la misma fórmula servirá, la diferencia será que el valor de $p$ será enorme.

Te habíamos comentado que la base $e$ estaba implicada en la capitalización continua de los intereses. Quizás te preguntes, ¿dónde está $e$?

Bueno, comparemos la manera de encontrar aproximaciones de $e$ con la fórmula que hemos encontrado. Observa la siguiente expresión, donde $n$ es un número natural:

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$$

Observa que para cada valor de $n$ se obtiene un valor en esta expresión. Por ejemplo, cuando $n=1$, la expresión vale $2$, cuando $n=2,$ la expresión vale $\frac{9}{4}=2.25$, etc. Sucede que conforme $n$ "crece indefinidamente" (esto se dice tiende a infinito) el valor de la expresión se aproxima a $e$. Expresado matemáticamente:

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}_{n \to \infty} = e$$

Y, por otro lado, como vimos, el monto obtenido después de invertir durante un año $\$10,000$ con una tasa interés anual de $8\%$ capitalizable en $p$ periodos al año es:

$$P_f=10\:000\left(1+\frac{0.08}{p}\right)^{p}$$

¿Te parecen similares estas expresiones?

Con un pequeño artificio matemático -de cambio de variable se llama- podemos reescribir la cantidad de dinero que tendrías al final del año si la tasa anual del $8\%$ se capitalizara continuamente, es decir, si $p \to \infty$:

$$P_f=10\:000\left(1+\frac{0.08}{p}\right)^{p}=10\:000\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]^{0.08}\approx 10\:000\:e^{0.08}$$

$$P_f=10\:000(2.718281828459)^{0.08}=10\:000(1.083287067674)$$

$$P_f=10\:832.8707$$

Como puedes ver, con una aproximación de $e$ a 12 cifras decimales, tendrías $\$10,832$.$87$ (más siete centésimas de centavos). El proceso para llegar a esta relación fue largo, pero de otro modo no se puede apreciar por qué cuando se capitaliza continuamente la tasa de interés anual, que es la tasa de crecimiento del dinero, se obtiene el número $e$.

Autoevaluación

Es momento de repasar lo aprendido

1.- Supón que tienes $\$5\:000$ y los quieres invertir en el banco a un interés del $6\%$, el banco los capitaliza cada $4$ meses ¿Cuál es la expresión matemática que te permite calcular el dinero que tendrás en un año?

$P_f = 5000 (1+ 0.06)^{3}$

$P_f = 5000 (1+ 0.02)^{3}$

$P_f = 5000 (1+ 0.06)^{4}$

$P_f = 5000 (1+ 0.02){4}$

2.- Supón que tienes \($15\:000\) y los quieres invertir en un fondo de inversión a un interés del \(9\%\), el banco los capitaliza cada \(6\) meses ¿Cuál es la expresión matemática que te permite calcular el dinero que tendrás en un año?

\(P_f = 15000 (1+ 0.02)^9\)

\(P_f = 15000 (1+ 0.045)^3\)

\(P_f = 15000 (1+ 0.045)^2\)

\(P_f = 15000 (1+ 0.09)^2\)

3.- ¿Cuál es la función que proporciona el saldo que tendrá al tiempo \(t\), dado en años, de un capital de \($20\:000\) que se invierte a una tasa anual del \(4.5\%\) capitalizable cada semestre?

\(f(t) = 20,000 ( 1+1.045)^2\)

\(f(t) = 20,000 +( 1.045)^2\)

\(f(t) = 20,000 ( 1+ \frac{0.045}{2})^2\)

\(f(t) = 20,000 ( 2 \times 0.045)^2\)

4.- Supongamos que tienes $\$8\:500$ y los quieres invertir en el banco a una tasa de interés anual del $8\%$, el banco capitaliza la inversión cada $3$ meses. ¿Cuál es la expresión matemática que te permite calcular el dinero que tendrás después de dos años?

$P_f = 8,500 (1+ 0.0266)^{8}$

$P_f = 8,500 (1+ 0.02)^{8}$

$P_f = 8,500 (1+ 0.0266)^{4}$

$P_f = 8,500 (1+ 0.02)^{4}$

5.- Supón que tienes $\$10\:500$ y los quieres invertir en el banco a un interés del $4\%$ y el banco los capitaliza cada mes ¿Qué cantidad tendrás al término de un año?

$\$10,535$

$\$10,920$

$\$10,927$.$80$

$\$16,810$.$80$