Supongamos que tenemos una colección de datos y sospechamos -quizá por alguna razón de tipo experimental- que hay una relación entre un término y el siguiente. Esta es una observación muy útil porque así podremos predecir, no solamente cuál es el siguiente número en la colección, sino también, cuál será el $n$-ésimo término.

Si una colección es de este tipo, decimos que es una progresión numérica, las más comunes de ellas son las progresiones aritméticas y las progresiones geométricas.. Estudiaremos aquí, cómo son éstas últimas.

Una progresión geométrica -en ocasiones también llamada "progresión exponencial"- es aquella en el siguiente elemento se obtiene multiplicando al actual por una constante $k$, llamada razón de la progresión. Dicho de otra forma equivalente: el cociente de un elemento entre su antecesor es igual a $k$, la razón de a progresión, $$\frac{a_n}{a_{n-1}}=k$$ por ejemplo $3,6,9,12,15,18,21,27,30,33,36,39,42,45$ forman una progresión geométrica.

Otros ejemplos serían:

a. 3,6,9,12,15,18,21,27,30,33,36,39,42,45$

b. 3,6,9,12,15,18,21,27,30,33,36,39,42,45$

$$\frac{f(2)}{f(1)}=\frac{ka^{2}}{ka}=a$$

¿Y si obtenemos el cociente al evaluar con otra pareja de enteros consecutivos?

$$\frac{f(3)}{f(2)}=\frac{ka^{3}}{ka^{2}}=a$$ $$\frac{f(4)}{f(3)}=\frac{ka^{4}}{ka^{3}}=a$$

En general:

$$\frac{f(n+1)}{f(n)}=\frac{ka^{n+1}}{ka^{n}}=a\qquad \text{ para cualquier entero }n\in\mathbb{Z}$$

Una progresión geométrica es una sucesión de valores en la que el elemento siguiente se obtiene del anterior al multiplicarlo por una constante llamada razón de la progresión.

Veamos un ejemplo. Supongamos que tenemos la siguiente tabla de valores, debemos identificar si hay variación exponencial y, en caso afirmativo, encontrar tanto la base $a$ como al parámetro del valor inicial $k$:

$x$	0	1	2	3	4	5
$f(x)$	¿?	1.8	2.16	2.592	3.1104	3.73248

¿Es una variación exponencial? Supongamos que lo es y veamos a qué llegamos. Si $f(x)=ka^{x}$ entonces:

$f(1)=k (a) = 1.8$

$f(2)=1.8 (a) =2.16$

$f(3)=2.16 (a) = 2.592$

$f(4)=2.592 (a) = 3.1104$

$f(5)=3.1104 (a) =3.73248$ De donde:

$$\frac{f(2)}{f(1)} =\frac{2.16}{1.8}=1.2$$

Si hay variación proporcional, este valor debe ser constante en los demás cocientes. En efecto, se tiene que:

$$\frac{f(3)}{f(2)}=\frac{2.592}{2.16}=\frac{f(4)}{f(3)}=\frac{3.1104}{2.592}=\frac{f(5)}{f(4)}=\frac{3.73}{3.11}=1.2$$

Por lo tanto la base es $a=1.2$, podemos ahora encontrar el valor de $k$ a partir de la primera ecuación:

$$k = \frac{1.8}{a}=\frac{1.8}{1.2}=1.5$$

De esta manera, ya tenemos los dos parámetros por lo que la función exponencial es $f(x) = 1.5(1.2)^{x}$.