El concepto de variación exponencial se refiere a una cantidad $M$ que cambia con el tiempo de forma directamente proporcional al valor de alguna potencia de $M$.

Si esta variación es creciente estaríamos ante un fenómeno de crecimiento exponencial y si es decreciente entonces hablaríamos de decaimiento exponencial.

Los fenómenos que presentan variación exponencial, son modelados con funciones del siguiente tipo:

$$f(x)=ka^{rx+b}+c,\qquad a > 0$$

donde:

• $\qquad\bullet$ $a$ es la base,
• $\qquad\bullet$ $k$ es una constante real,
• $\qquad\bullet$ $r$ es la razón o tasa.

los valores $k,a, b, c$ y $d$ son constantes, es decir, números reales fijos. Los parámetros $b$ y $c$ solamente indican qué tanto se traslada la gráfica $f(x)=ka^{rx}$ en movimientos paralelos a los ejes coordenados:

• $\qquad\bullet$ $b$ unidades a la izquierda o derecha, dependiendo del signo de $b$
• $\qquad\bullet$ $c$ unidades hacia arriba o hacia abajo, dependiendo del signo de $c$

Cuando algún fenómeno presenta variación exponencial, significa que cambia muy rápido por lo que decimos que cambia exponencialmente. Por esto, este tipo de funciones se usan para modelar situaciones en las que, con el tiempo, se observa el cambio acelerado de alguna variable. Por ejemplo el crecimiento de una población de personas, animales, bacterias u hongos o el incremento del capital con interés compuesto. Estos, son ejemplos de crecimiento exponencial. La variación exponencial también modela la desintegración radiactiva -que es un ejemplo de "crecimiento negativo"- o la disminución de la luz al penetrar en el mar, entre otros fenómenos. En estos últimos se presenta decaimiento exponencial.

Para distinguir si una función, como la expresada antes, modela crecimiento o decaimiento exponencial, hay que observar la relación entre sus parámetros, como se ve en la tabla siguiente:

Observa que si la base, $a=1,$ la función $f(x)=ka^{rx+b}+c$ sería una función constante, por lo que en ese caso no hay variación exponencial. Es por esto que en la tabla no se revisa este caso.

Las siguientes gráficas muestran algunos ejemplos de variación exponencial. En estos ejemplos, sucede que $b=c=0$:

Experimenta con Geogebra cambiando todos los parámetros en la expresión de $f(x)=ka^{rx+b}+c$ y observa cómo cambian las gráficas.