Fuerza de tensión en cuerdas de guitarra

Las frecuencias naturales dependen de parámetros, como la masa y la fuerza de tensión.

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Fuerza de tensión en cuerdas de guitarra

Fuerza de tensión en cuerdas de guitarra

El timbre es una de las propiedades que caracteriza a un sonido (junto con el tono, duración e intensidad) nos permite identificar un instrumento de otro aún produciendo la misma nota musical. Así, podemos diferenciar entre un LA producido por una guitarra, por un violín o por un piano, que son instrumentos de cuerda, de otros como el clarín, el clarinete y la flauta que son de viento o del tambor, platillos o diapasón que son instrumentos de percusión.

Timbre: Cualidad de los sonidos que depende de la forma y naturaleza de los elementos que entran en vibración.

La mayor parte de los sonidos musicales se componen de una superposición de muchas frecuencias llamadas tonos parciales. La frecuencia más baja se llama frecuencia fundamental (o escala fundamental). Por ejemplo, si consideramos un objeto susceptible de vibrar, como una cuerda, y analizamos las ondas que emite, su frecuencia fundamental coincide con la frecuencia más baja en que esta cuerda puede vibrar estacionariamente. Los calificativos para definir el timbre en un sonido musical son de carácter puramente subjetivo. También depende del número de sobretonos presentes.

Sobretonos: Por arriba de la frecuencia fundamental, se refiere a escalas más arriba. Tiene tonos más arriba el violín que el bajo.

Hablemos ahora de cuerdas de guitarra. Cuando se afina una guitarra lo que se hace es cambiar la longitud y el grosor de las cuerdas -tensionarlas- y comparar el sonido de las cuerdas de dos en dos: una vibrando libremente y la otra al aplicarle tensión para que emitan frecuencias semejantes. Como el grosor es fijo, la variable que ajustamos es la tensión.

Tensión: fuerza con que se jala la cuerda para darle una frecuencia determinada. El estiramiento hace que al vibrar la cuerda, ésta emita un sonido más agudo por el incremento de frecuencia.

Cuando pulsamos libremente la 5ª cuerda y la comparamos con la 6ª, observamos en primera instancia que el grosor no es el mismo, la 6ª es una cuerda más gruesa y su vibración produce un sonido más grave, al reducir su longitud aumentamos la frecuencia con la que vibra y al tensarla hacemos que esa vibración sea mayor, con estas dos variables, la tensión y la longitud, podemos lograr igualar las frecuencias de los sonidos producidos, y al dejar libre la 6ª cuerda observamos que ambos sonidos ya no son los mismos.

Podemos analizar una cuerda estirada para determinar su frecuencia natural. Sus extremos deben estar fijos y sin pisadas. La tabla de frecuencias naturales, $f_n$, de las diferentes notas musicales es la siguiente:

Nota musical Frecuencia [Hz]
DO 264
RE 297
MI 330
FA 352
SOL 396
LA 440
SI 495
DO 528

Pero, si se te llegara a romper alguna cuerda, por ejemplo la 6ª,  es posible que no tengas a la mano una similar por lo que, puedes poner otra de diferente grosor (tal vez una 5ª o 4ª) pero la tensión que llevará ésta será menor para que suene de manera similar a lo esperado. La tensión será diferente dependiendo del lugar que ocupe y de la cuerda de que se trate. 

La rapidez de onda, $v$, de la cuerda está determinada por la frecuencia y la longitud de onda $$v=f_n\lambda$$ $f_n$ es la frecuencia natural (dada en hertz (Hz), un hertz o hercio es la frecuencia de la oscilación de una partícula en un segundo) y $\lambda$ la longitud de onda (en metros) por lo que la rapidez está dada en $\frac{m}{s}$.

Cuanto mayor es el grosor de la cuerda -su densidad de masa lineal- más bajas son sus frecuencias naturales. Al tensar la cuerda aumentamos sus frecuencias. Además, si acortamos la cuerda -al pisarla- produciremos una frecuencia mayor, dicho de otra forma, si acortamos la longitud de onda la frecuencia aumentará. Si estamos analizando las frecuencias naturales de una cuerda, entonces $\lambda =2L$ donde $L$ es la longitud de la cuerda.

Entonces, las frecuencias naturales también dependen de otros parámetros, como la masa, la longitud y la fuerza de tensión que afectan la rapidez de onda en la cuerda, para el caso de una cuerda estirada puede demostrarse que la rapidez de onda está dada como: $$v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}$$ donde:

$F$ es la fuerza de tensión de la cuerda
(dada en Newtons, $N = \frac{kg\:m}{s^2}$)

$\mu$ es el grosor de la cuerda, está asociado a su densidad lineal: el cociente de la masa entre la longitud, $\frac{kg}{m}$

Observa que de aquí puedes obtener una expresión para calcular la fuerza de tensión.

Por ejemplo: 

La 5ª cuerda de una guitarra, afinada en LA -que tiene una frecuencia natural de 440 Hz- tiene una longitud de 0.65 m y una masa de 20 g ¿cuál es su rapidez de onda?

Si se mueve libremente en la frecuencia natural su longitud de onda será $\lambda=2L=2(0.65)=1.3\:m$ y su rapidez de onda: $$v = f_n(\lambda)= (440\: \text{Hz})(1.3\: m)= 572\:\frac{m}{s}$$ El grosor de la cuerda es: $$\mu=\frac{0.020}{0.65}=0.0307$$

Y de la segunda expresión dada para la rapidez de onda, obtenemos que la fuerza de tensión es:  

$$F = v^{2}\mu$$

por lo que sustituyendo con los datos de este ejemplo, tenemos:

$$F = \left(572\:\frac{m}{s}\right)^{2}  0.03 \frac{kg}{m} = 9815.52\: N$$

Autoevaluación

Ahora te toca a ti resolver algunos ejercicios para demostrar tu conocimiento. Completa con los valores que faltan (redondea a dos decimales).

  1. ¿Cuál es la fuerza de tensión que tiene una cuerda de guitarra que produce la nota MI cuya frecuencia es de 660 Hz? La cuerda de la guitarra tiene una longitud de 0.55 m y su masa es de 0.030 Kg.

    Respuesta: $F=$ $N$.

    Recuerda que: La fórmula de la tensión es $F= v^{2}\mu$, donde $v= f_n(2L)= 660(2\times 0.55)= 726 \frac{m}{s}$ y $\mu= \frac{0.030}{0.55}= 0.054 \frac{Kg}{m}$ entonces $F= 726^{2}(0.054)= 28,462.1\: N$.

  2. ¿Cuál es la fuerza de tensión que tiene una cuerda de guitarra que produce la nota MI de forma natural si la frecuencia de la nota es de 330 Hz? La cuerda de la guitarra tiene una longitud de 0.65 m y su masa es de 0.030 kg.

    Respuesta: $F=$ $N$.

    Recuerda que: La fórmula de la tensión es $F= v^{2}\mu$, donde $v= f_n(2L)= 330(2) (0.65) = 429 \frac{m}{s}$ y $\mu= \frac{0.03}{0.65}=0.0461 \frac{Kg}{m}$ entonces $F= 429^{2}(0.04615)= 8,493.49\: N$.

  3. ¿Cuál es la fuerza de tensión que tiene una cuerda de guitarra si la frecuencia de la nota es de 147 Hz? La cuerda tiene una longitud de 0.65 m y su masa es de 0.050 kg.

    Respuesta: $F=$ $N$.

    Recuerda que: La fórmula de la tensión es $F= v^{2}\mu$, donde $v= f_n(2L)= 147(2)(0.65) = 191.1 \frac{m}{s}$ y $\mu= \frac{0.05}{0.65}=0.0769 \frac{Kg}{m}$ entonces $F= 191.1^{2}(0.0769)= 2,808.32\: N$.

  4. ¿Cuál es la fuerza de tensión que tiene una cuerda si la frecuencia de la nota LA es de 440 Hz? La cuerda tiene una longitud de 0.65 m y su masa es de 0.045 kg.

    Respuesta: $F=$ $N$.

    Recuerda que: La fórmula de la tensión es $F= v^{2}\mu$, donde $v= f_n(2L)= 440(2)(0.65) = 572 \frac{m}{s}$ y $\mu= \frac{0.045}{0.65}=0.0692 \frac{Kg}{m}$ entonces $F= 572^{2}(0.0692)= 22,641.13\: N$.

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