Elementos de la recta

Los elementos esenciales de una recta son la pendiente y la ordenada al origen.

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Elementos de la recta

La expresión $y=mx+b$ representa gráficamente una recta, también se le conoce como ecuación de primer grado o ecuación lineal con dos variables. Aquí, $x$ es la variable independiente y $y$ la variable dependiente; $m$ y $b$ son valores fijos representados con números reales.

Existen diferentes formas de representar la ecuación de una recta. La que aquí presentamos se conoce como ecuación pendiente-ordenada al origen.

Conocimientos previos
  1. Plano cartesiano.
  2. Ubicación de puntos en el plano cartesiano.

Definición

Los elementos que definen a una recta son la pendiente, $m$, y la ordenada al origen, $b$, que indica el cruce de la recta con el eje $y$. Si una recta $\mathcal{L}$ tiene ecuación, $\mathcal{L}: y=mx+b$, entonces cruza al eje $y$ en el punto $(0,b)$.

Observando con cuidado la gráfica de la recta, notarás que, dados dos puntos en ella, se forma un triángulo rectángulo. La pendiente es el resultado de dividir las longitudes del cateto vertical entre el horizontal del triángulo formado:

Es decir, la pendiente es el cociente de la variación existente en las variables. Es decir, el cociente de la diferencia del cambio de los valores de las variables (las ordenadas entre las abscisas):

En la figura se observa que la longitud del cateto vertical es $y_2 - y_1$ y la del horizontal $x_2 - x_1$.

¿Y qué pasa con una recta horizontal? ahí no se forma ningún triángulo, ¿cuál será su pendiente? Pues ahí no hay variación en las equis, por lo que su pendiente será cero. ¿Qué puedes decir de una recta vertical? nuevamente es imposible formar un triángulo de la forma en que lo hicimos antes. Observa que en este caso sí hay variación en las abscisas pero no en las ordenadas, dicho de otro modo, la variación es cero, pero, ¿tendríamos entonces que hacer un cociente entre cero? ¡Esto es imposible! Esta es la razón por la que decimos que a las rectas verticales no se les define pendiente.

El ángulo que forma la recta con el eje $x$ se llama ángulo de inclinación. En la definición anterior, se tiene que la pendiente es precisamente la tangente del ángulo de inclinación:

La ordenada al origen $b$, es la distancia entre el origen y el cruce de la recta con el eje $y$:

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la recta:

Según el razonamiento anterior tenemos que:

$$m=\frac{5-0}{0-5}=-1$$

La ordenada al origen es el punto de intersección de la recta con el eje $y$, este es el punto $(0,5)$, a partir de este dato tenemos que $b=5$.

Sustituyendo en la ecuación de la recta tenemos:

Dibuja la recta cuya ecuación es $y=-2x+3$.

La misma ecuación nos da un punto pues como $b=3$, entonces el cruce con el eje $y$ está en el punto $(0,3)$:

Para localizar otro punto en la recta, demos un valor arbitrario a $x$, sustituyamos en la ecuación y obtengamos el valor de $y$. Veamos por ejemplo cuánto vale $y$ si $x=1$, sustituyendo en la ecuación dada: $$-2(1)+3=1=y$$

Así, sabemos que la recta también pasa por $(1,1)$, teniendo dos puntos podemos trazar nuestra recta:

Autoevaluación

Es momento de repasar lo aprendido.

Obtén las ecuaciones de las siguientes rectas:

1.-

2.-

3.-

doneVerificar

Arrastra la ecuación que corresponde a cada gráfica.

Ecuación
Gráfica