Distancia entre dos puntos

La Geometría se ha construido a través del tiempo con base en el punto, algunos axiomas y algunos postulados. El punto no tiene dimensión, pero sí posición.

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Distancia entre dos puntos

La Geometría se ha construido a través del tiempo con base en el punto, algunos axiomas y algunos postulados. El punto no tiene dimensión, pero sí posición. Gráficamente, podemos dibujarlo con la huella que deja un lápiz en el papel y se representa con alguna letra mayúscula. Así podemos referirnos al punto A, o al punto B, o a algún otro punto.

Un axioma es una proposición evidente que no necesita ser demostrada. Un postulado es una proposición que se admite sin demostración y es base para razonamientos posteriores.

La línea más corta que une dos puntos se llama geodésica. Si se tiene en un plano, la geodésica es un segmento de recta y en una superficie esférica la geodésica es el arco de la circunferencia máxima que los une.

Calcular la distancia entre dos puntos equivale a decir cuánto mide el segmento. Medir un segmento es compararlo con otro llamado unidad que se toma como referencia. Las unidades pueden ser: centímetros, metros, kilómetros, pies, yardas, entre otros.

Consideremos una recta y sea O un punto arbitrario en la recta al que llamaremos origen. Tomemos un segmento como unidad de medida y lo marcaremos n número de veces a la derecha e izquierda de 0. Haremos coincidir a cada marca un número entero, a la derecha los positivos y a la izquierda los negativos. Señalaremos el crecimiento de los números por medio de una flecha a la derecha de la recta.

Se ha establecido una correspondencia entre los puntos de la recta y los números reales de manera que: a cada punto de la recta le corresponde exactamente un número real y a cada número real le corresponde exactamente un punto. Esto se conoce como sistema coordenado lineal.

Veamos algunos ejemplos. Si queremos localizar el punto R(4), entendemos por esta notación que el punto está a 4 unidades a la derecha del origen. El punto Q(-2) está a 2 unidades a la izquierda del origen.

Sean P(x1) y Q(x2) dos puntos en el sistema coordenado lineal, lo que nos dice que OP=x1 y OQ=x2. Para obtener la distancia PQ vamos a establecer una igualdad de acuerdo a las distancias que tenemos en el sistema que se muestra en la siguiente figura:

OP + OQ = OQ

Sustituyendo los valores de OP + OQ se tiene la ecuación:

x1 + PQ =x2

 
Despejando PQ =x2 - x1 Como solamente queremos conocer la medida del segmento sin considerar el sentido en que se mide, el resultado lo tomaremos en valor absoluto. Entonces la fórmula para obtener la distancia entre dos puntos es:

d = |x2-x1 |
Valor absoluto de un número real es el valor que tiene el número sin considerar su signo.

Ejemplo

Juan va todos los días de su casa a la escuela en línea recta y ha observado que el odómetro de su automóvil señala que recorre 8.5 kilómetros. Si va de su casa al parque central, también lo hace en línea recta por la misma avenida y sabe que está a 11.2 kilómetros. ¿Cuál es la distancia que hay entre la escuela y el parque central?

Para calcular esta distancia podemos usar la fórmula que obtuvimos. Te estarás haciendo la pregunta ¿y cuál es x1 y cuál es x2? El valor absoluto te permite elegir cualquiera de los dos valores como x1 o como x2 y el resultado será el mismo. Al sustituir en la fórmula obtenemos que:

d = |8.5-11.2|= |-2.7|

Como se toma el valor absoluto tenemos que la distancia es 2.7km

Autoevaluación

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