Derivadas

La derivada se puede definir mediante el uso de dos conceptos matemáticos: razón de cambio y límite.

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Derivadas

La derivada en un punto definida como razón de cambio

La derivada se puede definir mediante el uso de dos conceptos matemáticos: razón de cambio y límite. Los ilustraremos mediante ejemplos.

Iniciemos con el de razón de cambio.

Dada una función $f$, la razón de cambio de $f$ es:

la proporción en la que cambian los valores de la función, es decir los $f(x)$, respecto a cambios en los elementos del dominio, es decir en $x$.

Observa, por ejemplo, el comportamiento de la función $f(x)=x^{2}$:

$x$ $f (x)=x^{2}$
$-3$ $9$
$-2$ $4$
$-1$ $1$
$0$ $0$
$1$ $1$
$2$ $4$
$3$ $9$

Los valores en la columna de $x$ aumentan de $1$ en $1$, sin embargo los valores de $f(x)$ cambian de otra manera:

  • entre $f(-3)=9$ y $f(-2)=4$ hay una disminución de $5$,
  • entre $f(-2)=4$ y $f(-1)=1$ hay una disminución de $3$,
  • entre $f(0)=0$ y $f(1)=1$ hay un aumento de $1$.

La razón de cambio nos da la información sobre cómo cambia la función.

Calculando razones de cambio

Llamemos $\Delta f$ al cambio o variación entre dos valores de $f$ y $\Delta x$ al cambio entre dos valores de $x$.

La razón de cambio es un cociente, que se define como: $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{\text{cambio en }f(x)}{\text{cambio en }x}$$

Por ejemplo, calculemos la razón de cambio entre $x_1 = 1$ y $x_2 = 3$

$$\Delta x = x_2 - x_1 = 3-1 =2$$ $$\Delta f = f(x_2) - f(x_1) = f(3) - f(1)= 9-1 =8$$

La razón de cambio será: $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{8}{2}=4$$

Observa: la razón de cambio no es otra cosa que

la pendiente de la recta

que pasa por los puntos $(1,1)$ y $(3,9).$

Calculemos ahora la razón de cambio entre $x_1 = 1$ y $x_2 = 2$

$$\Delta x = x_2 - x_1 = 2-1 =1$$ $$\Delta f = f(x_2) - f(x_1) = f(2) - f(1)= 4-1 =3$$

Entonces, la razón de cambio será: $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{3}{1}=3$$

Es decir, la pendiente de la recta que pasa por los puntos $(1,1)$ y $(2,4).$

Y qué pasa con la razón de cambio entre $x_1 = 1$ y $x_2 = 1.5$

$$\Delta x = 1.5-1 =0.5$$ $$\Delta f = f(1.5) - f(1) = 2.25-1 =1.25$$

En este caso la razón de cambio será: $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{1.25}{0.5}=2.5$$ La pendiente de la recta que pasa por los puntos $(1,1)$ y $(1.5,2.25).$

Finalmente, obtengamos la razón de cambio entre $x_1 = 1$ y $x_2 = \dfrac{5}{4}$

$$\Delta x = x_2 - x_1 = \frac{5}{4}-1 =\frac{1}{4}=0.25$$ $$\Delta f = f(x_2) - f(x_1) = f\left(\frac{5}{4}\right) - f(1)= \frac{25}{16}-1 =\frac{9}{16}=0.5625$$

La razón de cambio será: $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{0.5625}{0.25}=2.25$$ La pendiente de la recta por los puntos $(1,1)$ y $(1.25,1.5625).$

¿Notaste que la razón de cambio va disminuyendo conforme $x$ se acerca a $1$? ¿a qué valor se acerca? ¿cómo se relacionaría esto con el concepto de límite? Las razones de cambio que hemos calculado han tenido un valor fijo, $x_1= 1$ porque nos estamos acercando al punto $(1,f(1)).$

Límite de la razón de cambio

La idea de Newton y Leibnitz para el cálculo diferencial, fue la siguiente:

¿Cuál será la razón de cambio si tomamos $\Delta x$ lo más pequeño posible?

Esa fue una idea genial, pues así se tendría una razón de cambio muy exacta en la que cada valor del dominio de la función tuviera su propia razón de cambio. A esto se le conoce como razón de cambio instantánea.

Así, con lo que hemos hecho podemos calcular la razón de cambio instantánea para $x = 1$, para esto debemos calcular el siguiente límite:

$$lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}$$

Es decir, deseamos obtener el límite de la razón de cambio cuando $\Delta x \to 0$ que es cuando $x\to 1$ .

Observa la siguiente tabla, para entender mejor lo que está pasando con esta función.

$\Delta x$ se calcula como $x$ menos $1$ (pues $1$ es el valor al que $x$ se acerca),

$\Delta f$ se calcula como el valor de la función en el correspondiente $x$ menos el valor de la función en $1$, es decir $f(1)$,

y la razón de cambio es el cociente de $\Delta f$ entre $\Delta x$ (la pendiente de la recta que une a los puntos $(1,f(1))$ y $(x,f(x))$).


$x$ $f (x)=x^{2}$ $\Delta x = x - 1$ $\Delta f(x)=f(x) - f(1)$ Razón de cambio $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ cerca de $x= 1$
$2$ $4$ $1$ $3$ $3$
$1.5$ $2.25$ $0.5$ $1.25$ $2.5$
$1.25$ $1.5625$ $0.25$ $0.5625$ $2.25$
$1.1$ $1.21$ $0.1$ $0.21$ $2.1$
$1.01$ $1.0201$ $0.01$ $0.0201$ $2.01$

¿Qué ocurre con la razón de cambio?

Efectivamente, se va acercando a $2$.

Definición de derivada en un punto

Observa con atención:

Para la función $f(x)=x^{2}$ cerca del punto $(1,f(1))$, no estamos calculando el límite de la función, $f$, sino el límite de la razón de cambio.

$$lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}$$

Como vimos antes, este límite es la razón de cambio instantánea y será nuestra definición de derivada en un punto. Para este ejemplo, el punto es $(1,f(1)).$

Gráficamente, ¿qué significa esto?

Los puntos negros se van acercando al punto azul, ¿puedes relacionar esto con la tabla de la función?

Las secantes y la tangente

Como observaste, la razón de cambio es la pendiente de la recta entre dos puntos.

Empezamos con dos puntos no tan cercanos cuando tomamos $(1,f(1))$ y $(3,f(3)).$ La recta entre cualesquiera dos puntos de la gráfica de una función se llama recta secante.

Lo que calculamos fue la pendiente de la recta secante, entre los puntos $(1,f(1))$ y $(3,f(3))$. Después fuimos acercando a $x$ a $1$, con lo que el punto $(x,f(x))$ se acercaba cada vez más al punto $(1,f(1))$.

En el límite, cuando estos puntos llegan a estar tan cercanos a $(1,f(1))$ hasta prácticamente convertirse en el mismo punto, las rectas secantes se parecen cada vez más a la recta tangente (aquella que toca a una curva en un solo punto) a la gráfica de $f$ en el punto $(1,f(1))$.

Tenemos entonces que las rectas secantes se van aproximando a la recta tangente cuando hacemos que $x \to 1$, es decir cuando la abscisa de los puntos tiende a $1$.

Esta es la interpretación geométrica de la derivada en un punto: es el límite de las pendientes de rectas secantes cuando "tienden" a la tangente en ese punto.

Hay funciones y puntos en sus gráficas, para las que no es posible obtener una recta tangente -y entonces tampoco su pendiente-, en este caso se dice que la función no es derivable en ese punto. Ejemplo de esto es la función $f(x)=|x|$ que no es derivable en el punto $(0,0).$

La función derivada

Has aprendido hasta aquí que la derivada de una función $f$ en un punto $(x,f(x))$, es el límite de la razón de cambio de la función cuando nos acercamos a este punto. Entonces, la derivada en un punto cualquiera, se define de la siguiente manera:

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

Llamamos $f'(x)$ a la derivada de la función en el punto $(x,f(x))$, se lee “$f$ prima de $x.$” Observa que, esta expresión define una nueva función: aquella que a cada punto $x$ le asocia el valor de la derivada de $f$ en el punto $(x,f(x))$. A esto le llamaremos simplemente la derivada de $f$ en $x.$

Por ejemplo, considera nuevamente la función $f(x)=x^{2}$, si sustituimos en la expresión de la definición de derivada lo que se obtiene es:

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}$$

Usemos un poco de álgebra para llegar a una expresión más sencilla ¿recuerdas cómo se desarrolla el cuadrado de un binomio?:

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{x^{2}+2x\Delta x +(\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}=$$ $$=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{2x\Delta x +(\Delta x)^{2}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta x (2x +\Delta x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0} 2x+\Delta x=2x$$

Hemos obtenido una expresión general para $f'$, la función derivada de $f.$ En este caso $f'(x)=2x$ por lo que ya no tenemos que calcular el límite de la razón de cambio en cada punto. ¿Recuerdas que para $x = 1$, habíamos obtenido que la derivada de $f(x)=x^{2}$ era 2? podemos comprobarlo con la expresión que obtuvimos para $f'$, si sustituimos $x= 1$ se tiene que $f'(x) =2x \Rightarrow f'(1) = 2(1) = 2$.

Si ahora queremos calcular la derivada de $f(x)=x^{2}$ en otro punto, por ejemplo en $x = 2$ sustituyendo tenemos $f'(2) = 2(2) = 4.$

La relación entre la función y su derivada

Observa detenidamente las siguientes gráficas, ¿en cuál de ellas la recta tangente está más inclinada?, ¿qué valor tiene la pendiente de la tangente?

En ambos casos la pendiente es positiva y la gráfica "crece" -es decir, sus valores se van incrementando- cerca del punto de tangencia.

¿Y si la derivada es negativa?

¿Cuánto vale la derivada en $x = -1$?, al sustituir tenemos que $f'(-1) = 2(-1) = -2$.

Que la derivada haya resultado negativa, significa que la gráfica de la función "decrece", es decir, que sus valores van disminuyendo (recuerda que cuando se piensa en recorrer la gráfica de una función, se considera que se hace de izquierda a derecha).

Conclusión

Si la función crece entonces su derivada es positiva; y si la función decrece entonces su derivada es negativa. ¿Qué significa que la derivada valga cero? esto ocurre cuando la tangente en ese punto es una recta horizontal, en estos casos se habrá llegado a un punto crítico es decir, un punto en el cual la función alcanza un valor máximo o mínimo.

Autoevaluación

Demuestra lo que conoces sobre derivadas.

1. Con el mismo método expuesto para obtener $f'$ para la función $f(x)=x^{2}$, obtén ahora la función derivada para $g(x)=x$, para $h(x) = 3x-5$ y para $f(x)=5x^{2}+1$

2. Obtén ahora $f'$ para las siguientes funciones:


4
8x
$f (x)$ Respuesta
$f(x)=4x^{2}+1$
$f(x)=4x-3$