La derivada en un punto definida como razón de cambio
La derivada se puede definir mediante el uso de dos conceptos matemáticos: razón de cambio y límite. Los ilustraremos mediante ejemplos.
Iniciemos con el de razón de cambio.
Dada una función $f$, la razón de cambio de $f$ es:
la proporción en la que cambian los valores de la función, es decir los $f(x)$, respecto a cambios en los elementos del dominio, es decir en $x$.
Observa, por ejemplo, el comportamiento de la función $f(x)=x^{2}$:
$x$ | $f (x)=x^{2}$ |
---|---|
$-3$ | $9$ |
$-2$ | $4$ |
$-1$ | $1$ |
$0$ | $0$ |
$1$ | $1$ |
$2$ | $4$ |
$3$ | $9$ |
Los valores en la columna de $x$ aumentan de $1$ en $1$, sin embargo los valores de $f(x)$ cambian de otra manera:
- entre $f(-3)=9$ y $f(-2)=4$ hay una disminución de $5$,
- entre $f(-2)=4$ y $f(-1)=1$ hay una disminución de $3$,
- entre $f(0)=0$ y $f(1)=1$ hay un aumento de $1$.
La razón de cambio nos da la información sobre cómo cambia la función.
Calculando razones de cambio
Llamemos $\Delta f$ al cambio o variación entre dos valores de $f$ y $\Delta x$ al cambio entre dos valores de $x$.
La razón de cambio es un cociente, que se define como: $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{\text{cambio en }f(x)}{\text{cambio en }x}$$
Por ejemplo, calculemos la razón de cambio entre $x_1 = 1$ y $x_2 = 3$
$$\Delta x = x_2 - x_1 = 3-1 =2$$ $$\Delta f = f(x_2) - f(x_1) = f(3) - f(1)= 9-1 =8$$La razón de cambio será: $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{8}{2}=4$$
Observa: la razón de cambio no es otra cosa que
la pendiente de la recta
que pasa por los puntos $(1,1)$ y $(3,9).$
Calculemos ahora la razón de cambio entre $x_1 = 1$ y $x_2 = 2$
$$\Delta x = x_2 - x_1 = 2-1 =1$$ $$\Delta f = f(x_2) - f(x_1) = f(2) - f(1)= 4-1 =3$$Entonces, la razón de cambio será: $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{3}{1}=3$$
Es decir, la pendiente de la recta que pasa por los puntos $(1,1)$ y $(2,4).$
Y qué pasa con la razón de cambio entre $x_1 = 1$ y $x_2 = 1.5$
$$\Delta x = 1.5-1 =0.5$$ $$\Delta f = f(1.5) - f(1) = 2.25-1 =1.25$$En este caso la razón de cambio será: $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{1.25}{0.5}=2.5$$ La pendiente de la recta que pasa por los puntos $(1,1)$ y $(1.5,2.25).$
Finalmente, obtengamos la razón de cambio entre $x_1 = 1$ y $x_2 = \dfrac{5}{4}$
$$\Delta x = x_2 - x_1 = \frac{5}{4}-1 =\frac{1}{4}=0.25$$ $$\Delta f = f(x_2) - f(x_1) = f\left(\frac{5}{4}\right) - f(1)= \frac{25}{16}-1 =\frac{9}{16}=0.5625$$La razón de cambio será: $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{0.5625}{0.25}=2.25$$ La pendiente de la recta por los puntos $(1,1)$ y $(1.25,1.5625).$
¿Notaste que la razón de cambio va disminuyendo conforme $x$ se acerca a $1$? ¿a qué valor se acerca? ¿cómo se relacionaría esto con el concepto de límite? Las razones de cambio que hemos calculado han tenido un valor fijo, $x_1= 1$ porque nos estamos acercando al punto $(1,f(1)).$