¿A qué nos referimos cuando hablamos de decaimiento exponencial? Básicamente a que algo decrece MUY aceleradamente. Este fenómeno es un ejemplo de variación exponencial, por lo que se modela con funciones del siguiente tipo:

$$f(x)=ka^{rx+b}+c\quad a > 0$$

donde:

• $\qquad\bullet$ $a$ es la base,
• $\qquad\bullet$ $k$ es una constante real,
• $\qquad\bullet$ $r$ es la razón o tasa.

los valores $k,a, b, c$ y $d$ son constantes, es decir, números reales fijos.

Si se modela una situación de decrecimiento exponencial, la función asociada tendrá una gráfica parecida a alguna de las siguientes:

Para que la función represente decaimiento exponencial, los parámetros estarán relacionados de la siguiente forma:

$$\text{Si } 1>a>0, \text{ la función es decreciente si } kr >0$$

Y

$$\text{Si } a>1, \text{ la función es decreciente si } kr <0$$

Los parámetros $b$ y $c$ indican qué tanto se traslada la gráfica en movimientos paralelos a los ejes coordenados (partiendo de la gráfica de la función $f(x)=ka^{rx}$):

• $\quad \bullet$ horizontalmente $b$ unidades a la derecha o izquierda del eje $y$, dependiendo del signo que tenga $b$.

• $\quad \bullet$ verticalmente $c$ unidades hacia arriba o hacia abajo del eje $x$, dependiendo del signo que tenga $c$.

Existen diversas situaciones que pueden modelarse por medio de un decaimiento exponencial, como las emisiones de una partícula radiactiva a lo largo del tiempo o la cantidad de luz solar que penetra en el agua marina. Analizaremos aquí este último caso.

La luz en el mar

La propagación de la luz depende del medio que atraviese. De este modo, la luz viaja a distintas velocidades en el aire y en el agua. Cuando la luz se propaga en un medio acuoso, su intensidad decrece exponencialmente en un fenómeno conocido como atenuación, y cuyas causas se deben principalmente a lo siguiente:

• Absorción

  Se refiere al hecho de que la energía luminosa se transforma en otro tipo de energía. Se produce por las algas que utilizan la luz solar como fuente de energía para realizar la fotosíntesis, por la materia orgánica e inorgánica en partículas que se encuentran suspendidas en el agua, por compuestos inorgánicos disueltos y por el agua en sí.

• Dispersión

  Corresponde a la reflexión de la luz cuando choca contra partículas suspendidas. Mientras más turbia sea el agua por efecto de las partículas suspendidas, mayor será el efecto de dispersión y más difícil será la penetración de la luz.

Luz, vida y color

De acuerdo a la cantidad de luz que generalmente penetra en el mar, se fracciona verticalmente en capas.

Se sabe que hasta los 100 metros de profundidad, viven la mayoría de los organismos marinos vegetales y animales. De los 100 a los 1000 metros de profundidad, hay pocos vegetales y algunos animales, de los cuales únicamente algunos son residentes permanentes y otros usan esta capa para realizar migraciones. Entre los 1000 y 4000 metros de profundidad, se han encontrado algunos pocos organismos, todos animales, y de los 4000 hasta los 11 000 metros, solamente se han hallado algunas bacterias como organismos vivos.

En mares con espuma producida por una agitación intensa y en los cubiertos por hielo, la reflexión es mayor y, por lo tanto, la penetración de la luz será menor.

Según se ha encontrado, el 18 % de la luz solar que llega al mar es reflejada a la atmósfera. El 82 % restante es absorbido y transformado, entre otras cosas, en calor. Ya mencionamos que la cantidad de luz que penetrará en el agua depende de varios factores, a los que podemos agregar el ángulo de incidencia y la estación del año.

En términos del espectro de luz, se sabe que las radiaciones roja y naranja se absorben con mayor rapidez cuando el agua es transparente. De esta manera, a cuatro metros, la primera disminuye un 99 % respecto a su intensidad en superficie. Las radiaciones violeta, verde, azul y amarilla alcanzan mayores profundidades, siendo la azul la más penetrante, ya que a los 70 metros, aún conserva entre 70 y 80 % de su intensidad en superficie.

Las radiaciones infrarrojas son prácticamente opacas en el mar, y las ultravioletas son menos absorbidas que las violetas. En aguas turbias, las que más penetran son las verdes y amarillas, y por lo general, a mayor longitud de onda, mayor es su dispersión y menor su penetración. Todo esto influye en la distribución escalonada de los vegetales marinos que utilizan distintos tipos de radiaciones para la fotosíntesis. Algunas algas verdes costeras utilizan prácticamente todo el espectro de luz y se sitúan en las capas superiores. Las algas pardas usan las radiaciones rojas y se distribuyen entre 5 y 15 metros de profundidad. Otras, como las algas rojas, utilizan radiaciones azules, situándose a mayor profundidad.

¿Cómo medir la penetración de la luz en el mar?

El método más simple y económico para medir qué tan turbia se encuentra el agua de mar es el disco de Secchi; consiste en un disco blanco que se sumerge en el agua, de manera paralela a la superficie, desde la borda de un barco. Cuando el disco deja de ser visible, se anota la profundidad a que se encuentra a esta profundidad se le llama profundidad de Secchi, denotada por $Zs$.

De igual forma, para predecir la cantidad de luz que penetra en el mar a $x$ metros de profundidad, se ha desarrollado un modelo que establece la siguiente función $I(x)=I_0e^{-kx}$ donde a $I_0$ se le llama intensidad incidente y a  $k$ coeficiente de extinción vertical.

Observa que esta función es del tipo de las que modelan decaimiento exponencial.

El coeficiente de extinción vertical depende de la calidad del agua. Existen diferentes tipos de agua marina, en términos de sus características ópticas. Una clasificación fue dada en 1976, en donde el tipo 1 corresponde al agua oceánica y el tipo 9 al agua costera.

Este coeficiente será distinto también dependiendo de que tan difícil sea para la luz hacer un mayor recorrido dentro del mar. Así, aguas más transparentes tendrán un $k$ menor, mientras que aguas más turbias tendrán un $k$ mayor.

En ese sentido podemos ver que aplicar el modelo que se nos presenta puede no ser tan simple, pues necesitamos conocer los valores de $I_0$ y $k$, por lo que, aquí el problema se transforma en la búsqueda de los valores adecuados para los estos parámetros.

Se han desarrollado otros modelos para verificar la extinción de la luz en el medio acuático; la mayoría de ellos, a partir del análisis de datos recabados en diversos lugares. Las mayores profundidades donde se ha registrado transparencia son a 700 metros en el océano Atlántico, a 800 metros en el mar Mediterráneo y hasta 950 metros en el mar Caribe, pero el promedio de penetración de la luz se ha calculado en 200 metros.

Autoevaluación

Es momento de repasar lo aprendido.

Practica con Geogebra y observa cómo se comporta la gráfica de la función, $f(x)=ka^{rx+b}+c\quad a > 0,$ al cambiar los parámetros $k,r,a,b$ y $c.$