Una combinación de tamaño $r$ es una selección de $r$ objetos tomados de entre $n$ objetos (o eventos) con $n \geq r$ y en la que el orden en que aparecen no importa.

Dicho de otra forma, una combinación de tamaño $r$ es un subconjunto de tamaño $r$ de un conjunto de tamaño $n$.

La fórmula para obtener el total de las combinaciones (o subconjuntos) de tamaño $r$ de un conjunto de tamaño $n$ es:

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Donde:

$n$ es el número total de objetos o eventos

$r$ es el número de objetos que se eligen

$n$ es un entero no negativo y $0\leq r \leq n$

RECUERDA: el factorial de $n$ es $$n!= (1)(2)...(n-1)(n)$$

Solo se aplica para valores enteros no negativos.

Por ejemplo, el factorial de siete se escribe $7!$ y vale $7! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 = 5040$

$$1! = 1$$

$$0! = 1$$

Veamos algunos ejemplos

Un entrenador de baloncesto tiene una selección de doce jugadores. ¿De cuántas formas puede elegir a sus cinco titulares?

En este caso se plantea una selección, sin orden de por medio, ya que lo importante es quiénes son, sin prioridad especial alguna entre ellos. De esta forma, el entrenador tiene un total de $n = 12$ jugadores y seleccionará a un total de $r = 5$ jugadores. Como no importa el orden, cada selección será uns combinación, por lo que de acuerdo al modelo planteado el total de posibles selecciones será $C(12,5)$.

$$C(12,5)=\frac{12!}{5!(12-5)!}=\frac{12!}{5!7!}=\frac{(8)(9)(10)(11)(12)}{5!}=$$ $$=\frac{(8)(9)(10)(11)(12)}{(1)(2)(3)(4)(5)}=(8)(9)(11)= 792$$

Veamos otro ejemplo:

En un grupo hay cinco personas, las que pueden identificarse con las letras $a, b, c, d$ y $e$. De ellas se van a seleccionar tres para una misión especial ¿de cuántas formas diferentes se pueden seleccionar las tres personas?

Respuesta:

$$C(5,3)=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5!}{3!2!}=\frac{(4)(5)}{2}=10$$

Se pueden seleccionar de 10 formas diferentes.